Question

【題目】“分塊計數(shù)法”：對有規(guī)律的圖形進行計數(shù)時，有些題可以采用“分塊計數(shù)”的方法．

例如：圖1有6個點，圖2有12個點，圖3有18個點，…，按此規(guī)律，求圖8、圖有多少個點？

我們將每個圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點的個數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點個數(shù)是個；圖2中黑點個數(shù)是個；圖3中黑點個數(shù)是個；…，所以容易求出圖8、圖中黑點的個數(shù)分別是______、_________．

請你參考以上“分塊計數(shù)法”，先將下面的點陣進行分塊（畫在答題卡上），再完成以下問題：

（1）第6個點陣中有______個圓圈；第個點陣中有______個圓圈．

（2）小圓圈的個數(shù)會等于331嗎？請求出是第幾個點陣．

Answer 1

【答案】48；6n；（1）91；；（2）會；第11個點陣

【解析】

根據(jù)規(guī)律可求得圖8中黑點個數(shù)和圖n中黑點個數(shù)；
（1）第2個圖中2為一塊，分為3塊，余1，第3個圖中3為一塊，分為6塊，余1；按此規(guī)律得：第6個點陣中6為一塊，分為15塊，余1，得第n個點陣中有：n×3（n-1）+1=3n2-3n+1；
（2）令3n2-3n+1=331，方程有解則存在這樣的點陣，據(jù)此解答.

解：圖8中黑點個數(shù)是6×8=48個；圖n中黑點個數(shù)是6n個；

（1）如圖所示：第1個點陣中有：1個，
第2個點陣中有：2×3+1=7個，
第3個點陣中有：3×6+1=19個，
第4個點陣中有：4×9+1=37個，
第5個點陣中有：5×12+1=61個，

第6個點陣中有：6×15+1=91個，
…
第n個點陣中有：n×3（n-1）+1=3n2-3n+1，
故答案為：91，3n2-3n+1；

（2）3n2-3n+1=331，
n2-n-110=0，
（n-11）（n+10）=0，
n1=11，n2=-10（舍），
∴小圓圈的個數(shù)會等于331，它是第11個點陣．