Question

如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②△PMN為等邊三角形；下面判斷正確是(     )

A．①正確     B．②正確     C．①②都正確     D．①②都不正確

Answer 1

C【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等邊三角形的判定．

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷②正確．

【解答】解：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正確；

②∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，

∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形，正確；

所以①②都正確．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．