Question

【題目】已知直線l1：y＝﹣x+b與x軸交于點(diǎn)A，直線l2：y＝x﹣與x軸交于點(diǎn)B，直線l1、l2交與點(diǎn)C，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，若點(diǎn)P（x，2）為垂線上的一個(gè)點(diǎn)，Q是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若S△CPQ＝5，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）若P在過(guò)A作x軸的垂線上，點(diǎn)Q為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ+QA的值最小時(shí)，求此時(shí)P的坐標(biāo)；

（3）如圖，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），將直線l1繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線l3剛好過(guò)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸的直線l4，點(diǎn)M、N分別為直線l3、l4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使得△BMN是以M點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在， 求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）Q的坐標(biāo)為（0,0）或（0，-5）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；（3）①點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣16，﹣4），②點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）．

【解析】

（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線l1：y=-x+b中，即可求直線l1解析式；再根據(jù)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出直線AC的解析式，因?yàn)橹本�AC交y軸于點(diǎn)M，所以M橫坐標(biāo)為0，再求出縱坐標(biāo)，最后根據(jù)S△CPQ＝QM×（xC﹣xP）＝=5，解得：yQ=0或-5，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)最短路徑問(wèn)題可得：作C關(guān)于過(guò)A垂線的對(duì)稱點(diǎn)C′（﹣7，﹣4）、A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（3，0），連接A′C′交過(guò)A點(diǎn)的垂線與點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)，CP+PQ+QA的值最小，解得直線A′C′的表達(dá)式，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），將直線l1繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線l3剛好過(guò)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸的直線l4，點(diǎn)M、N分別為直線l3、l4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使得△BMN是以M點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，直接寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）直線l2：y＝x﹣，令x＝1，則y＝﹣4，故C（1，﹣4），

把C（1，﹣4）代入直線l1：y＝﹣x+b，得：b＝﹣3，則l1為：y＝﹣x﹣3， 所以A（﹣3，0），所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣3，2），如圖，設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)M，

設(shè)yPC＝mx+t得：，解得， ∴yPC＝-1.5x-2.5，即M（0，-2.5）．

S△CPQ＝QM×（xC﹣xP）＝=5，解得：yQ=0或-5，

∴Q的坐標(biāo)為（0,0）或（0，）

（2）確定C關(guān)于過(guò)A垂線的對(duì)稱點(diǎn)C′（﹣7，﹣4）、A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（3，0），

連接A′C′交過(guò)A點(diǎn)的垂線與點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)，CP+PQ+QA的值最小，

將點(diǎn)A′、C′點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝k′x+b′得：，解得： ，

則直線A′C′的表達(dá)式為：y＝x﹣，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝﹣，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣），

（3）將E、C點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得其表達(dá)式為

①當(dāng)點(diǎn)M在直線l4上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)N（n，﹣4），點(diǎn)M（s，﹣s﹣），點(diǎn)B（4，0），

過(guò)點(diǎn)N、B分別作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)M與x軸的平行線分別交于點(diǎn)R、S，

∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，

∴∠SMR＝∠RNM，

∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，

∴△MSB≌△NRM（AAS），

∴RN＝MS，RM＝SB，

即 ，解得

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣16，﹣4），

②當(dāng)點(diǎn)M在l4下方時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)M作PQ∥x軸，與過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線交于Q，與過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線交于P，

同①的方法得，N（﹣，﹣4），

即：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）．