Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是 ， 并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；
（3）你學(xué)過(guò)的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？
（4）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）平行四邊形
（2）對(duì)角線互相垂直
（3）

解：菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下：

如圖，連結(jié)AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，

∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH= BD，F(xiàn)G= BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG，

∴平行四邊形EFGH是矩形

（4）AC=BD
【解析】解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：
如圖，連結(jié)BD．
∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH= BD，
同理FG∥BD，F(xiàn)G= BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：
如圖，連結(jié)AC、BD．
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形；

（4）添加的條件應(yīng)為：AC=BD．
證明：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，所以HG∥AC且HG= AC；同理EF∥AC且EF= AC，同理可得EH= BD，
則HG∥EF且HG=EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC=BD，所以EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形．
故答案為：平行四邊形；互相垂直；菱形，AC=BD．
（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH= BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G═ BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角可得∠1=90°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3=90°，再根據(jù)垂直定義解答；（4）添加的條件應(yīng)為：AC=BD，把AC=BD作為已知條件，根據(jù)三角形的中位線定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根據(jù)等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH為平行四邊形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等，所以四邊形EFGH為菱形．