【題目】已知:如圖,四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H,順次連接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點四邊形).
(1)四邊形EFGH的形狀是 , 并證明你的結論.
(2)當四邊形ABCD的對角線滿足條件時,四邊形EFGH是矩形;
(3)你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形?
(4)當四邊形ABCD的對角線滿足條件時,四邊形EFGH是菱形.
【答案】
(1)平行四邊形
(2)對角線互相垂直
(3)
解:菱形的中點四邊形是矩形.理由如下:
如圖,連結AC、BD.
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點,
∴EH∥BD,HG∥AC,FG∥BD,EH= BD,FG= BD,
∴EH∥FG,EH=FG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵EH∥BD,HG∥AC,
∴EH⊥HG,
∴平行四邊形EFGH是矩形
(4)AC=BD
【解析】解:(1)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.理由如下:
如圖,連結BD.
∵E、H分別是AB、AD中點,
∴EH∥BD,EH= BD,
同理FG∥BD,FG= BD,
∴EH∥FG,EH=FG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形;
2)當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時,四邊形EFGH是矩形.理由如下:
如圖,連結AC、BD.
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點,
∴EH∥BD,HG∥AC,
∵AC⊥BD,
∴EH⊥HG,
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴平行四邊形EFGH是矩形;
(4)添加的條件應為:AC=BD.
證明:∵E,F,G,H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點,
∴在△ADC中,HG為△ADC的中位線,所以HG∥AC且HG= AC;同理EF∥AC且EF= AC,同理可得EH= BD,
則HG∥EF且HG=EF,
∴四邊形EFGH為平行四邊形,又AC=BD,所以EF=EH,
∴四邊形EFGH為菱形.
故答案為:平行四邊形;互相垂直;菱形,AC=BD.
(1)連接BD,根據三角形的中位線定理得到EH∥BD,EH= BD,FG∥BD,FG═ BD,推出,EH∥FG,EH=FG,根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形;(2)根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形,可知當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時,四邊形EFGH是矩形;(3)菱形的中點四邊形是矩形.根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD,EF∥AC,再根據矩形的每一個角都是直角可得∠1=90°,然后根據平行線的性質求出∠3=90°,再根據垂直定義解答;(4)添加的條件應為:AC=BD,把AC=BD作為已知條件,根據三角形的中位線定理可得,HG平行且等于AC的一半,EF平行且等于AC的一半,根據等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行,得到HG和EF平行且相等,所以EFGH為平行四邊形,又EH等于BD的一半且AC=BD,所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等,所以四邊形EFGH為菱形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為發(fā)展校園足球運動,某城區(qū)四校決定聯合購買一批足球運動裝備.市場調查發(fā)現:甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球服和足球,已知每套隊服比每個足球多50元,兩套隊服與三個足球的費用相等,經洽談,甲商場優(yōu)惠方案是:每購買十套隊服,送一個足球;乙商場優(yōu)惠方案是:若購買隊服超過80套,則購買足球打八折.
(1)求每套隊服和每個足球的價格是多少元;
(2)若城區(qū)四校聯合購買100套隊服和a(a>10)個足球,請用含a的式子分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所花發(fā)費用;
(3)在(2)的條件下,若a=60,假如你是本次購買任務的負責人,你認為到甲、乙哪家商場購買比較合算?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某商店賣出一套衣服,虧損了元,其中褲子是按元賣出的,盈利了 ;上衣虧損了.求:
(1)這套衣服中褲子的進價是多少元?
(2)這套衣服中上衣是按多少元賣出的?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線 (a為常數,且a>0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點,與y軸交于點C,經過點B的直線與拋物線的另一交點為D,且點D的橫坐標為﹣5.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)P為直線BD下方的拋物線上的一點,連接PD、PB, 求△PBD面積的最大值.
(3)設F為線段BD上一點(不含端點),連接AF,一動點M從點A出發(fā),沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止,當點F的坐標是多少時,點M在整個運動過程中用時最少?
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