Question

1．已知x軸上有點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)且m＜-1，連接AB，BC，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，以線段BC為直徑作⊙M交直線AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作直線l∥AC，過A，B，C三點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx+c，直線l與拋物線和⊙M的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)．

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）用含m的式子表示拋物線的對稱軸；
（3）線段EF的長是否為定值？如果是，求出EF的長；如果不是，說明理由．
（4）是否存在點(diǎn)C（m，0），使得BD=$\frac{1}{2}$AB？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切函數(shù)的定義及點(diǎn)A的坐標(biāo)求解；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)C、A、B在拋物線上，故代入其坐標(biāo)列方程組求解即可；
（3）得到EB=-（1+m），F(xiàn)B=-m，相加即可求解；
（4）連接CD，因?yàn)锽C為圓的直徑，所以∠BDC=90°，若BD=$\frac{1}{2}$AB，可證明CA=CB，由此可求得符合題意的點(diǎn)C（-$\frac{3}{2}$，0）．

解答 解：（1）∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，且A（1，0），
∴OB=2，即：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．
（2）點(diǎn)C（m，0），A（1，0），B（0，2）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=2}\\{a{m}^{2}+bm+c=0}\end{array}\right.$ 
解之得：b=-$\frac{2（m+1）}{m}$，a=$\frac{2}{m}$，
∴x=-$\frac{2a}$=$\frac{m+1}{2}$．
即：拋物線的對稱軸為x=$\frac{m+1}{2}$
（3）∵EB=-（1+m），F(xiàn)B=-m，EF=FB-EB=1，
∴線段EF的長是定值．
（4）如下圖所示：連接CD

∵BCS是⊙M的直徑，
∴∠CDB=90°，
∵若BD=$\frac{1}{2}$AB，即BD=DA
則易證CB=CA
∴$\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$=1-m
解之得m=-$\frac{3}{2}$，
即：存在一點(diǎn)C（-$\frac{3}{2}$，0），使得BD=$\frac{1}{2}$AB

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與圓的有關(guān)知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是函數(shù)圖象上的點(diǎn)與其解析式的關(guān)系以及圓的基本知識點(diǎn)和綜合分析問題的能力．