Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于點P、Q。
（1）四邊形OABC的形狀是______，
當α=90°時，的值是____；
（2）①如圖（2），當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸時，求的值；
②如圖（3），當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求△OPB′的面積；
（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當0°<α≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）矩形（長方形）；；
（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°， ∴△COP∽△A′OB′， ∴ 即 同理△B′CQ∽△B′C′O，　 ∴ 即 ∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11， ∴ ②在△OCP和△B′A′P中，  ∴△OCP≌△B′A′P（AAS）， ∴OP=B′P， 設(shè)B′P=x， 在Rt△OCP中， （8-x）2+62= x2， 解得， ∴；
（3）存在這樣的點P和點Q，使， 點P的坐標是， 對于第（3）題，我們提供如下詳細解答，對學生無此要求， 過點Q 畫QH⊥OA′于H， 連接OQ， 則QH=OC′=OC， ∵ ∴PQ=OP， 設(shè)BP=x， ∵ ∴BQ=2x， ①如圖（1）， 當點P在點B左側(cè)時， OP=PQ=BQ+BP=3x， 在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2， 解得，（不符實際，舍去） ∴ ∴； ②如圖（2）， 當點P在點B右側(cè)時， OP=PQ=BQ-BP=x， PC=8-x， 在Rt△PCO中， （8-x）2+62=x2， 解得， ∴ ∴ 綜上可知，存在點，，使BP=。