【題目】等腰直角△ABC,△MAD中,∠BAC=∠DMA=90°,連接BM,CD.且B,M,D三點共線

(1)當點D,點M在BC邊下方,CDBD時,如圖,求證:BM+CD=AM;(提示:延長DB到點N,使MN=MD,連接AN.)

(2)當點D在AC邊右側,點M在ABC內(nèi)部時,如圖;當點D在AB邊左側,點M在ABC外部時,如圖,請直接寫出線段BM,CD,AM之間的數(shù)量關系,不需要證明;

(3)在(1),(2)條件下,點E是AB中點,MF是AMD的角平分線,連接EF,若EF=2MF=6,則CD=   

【答案】(1)證明見解析(2)當點D在AC邊右側,點M在ABC內(nèi)部時,BM=CD+AM(3)12-6

【解析】

(1)延長DB到點N,使MN=MD,由題意可證△AND是等腰直角三角形,可得∠NAD=∠BAC=90°,AN=AD,即可證△ABN≌△ACD,可得BN=CD,則結論可得.
(2)當點DAC邊右側,點M在△ABC內(nèi)部時,:在線段BM上截取MN=DM,由題意可證△AND是等腰直角三角形,可得∠NAD=∠BAC=90°,AN=AD,即可證△ABN≌△ACD,可得BN=CD,即可得BM=CD+AM,當點DAB邊左側,點M在△ABC外部時,延長DMN,使MN=DM.由題意可證△AND是等腰直角三角形,可得∠NAD=∠BAC=90°,AN=AD,即可證△ABN≌△ACD,可得BN=CD,即可得CD=BM+AM
(3)由題意可得EF是中位線,分類討論,代入關系式可求CD的長度.

(1)延長DB到點N,使MN=MD,連接AN,

等腰直角△ABC,△MAD,

∴AM=MD,AB=AC,∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=MD,∠DMA=90°,AM=AM,

∴△AMN≌△AMD,

∴AD=AN,∠NAM=∠MAD=45°,

∴∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠NAB=∠CAD,且AN=AD,AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵MN=BM+BN,

∴AM=MD=BM+CD,

(2)當點D在AC邊右側,點M在ABC內(nèi)部時,BM=CD+AM,

如圖:在線段BM上截取MN=DM,

等腰直角△ABC,△MAD,

∴AM=MD,AB=AC,∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=DM,

AM=DM=MN,且∠AMD=90°,

∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,

∴AN=AD,∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠BAN=∠DAC,且AN=AD,AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵BM=BN+MN,

∴BM=CD+AM,

當點D在AB邊左側,點M在ABC外部時,CD=BM+AM,

如圖:延長DM到N,使MN=DM.

等腰直角△ABC,△MAD,

∴AM=MD,AB=AC,∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=DM,

AM=DM=MN,且∠AMD=90°,

∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,

∴AN=AD,∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠BAN=∠DAC,且AN=AD,AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵BN=BM+MN,

∴CD=BM+AM,

(3)∵MF是AMD的角平分線,∠DMA=90°,AM=DM,

∴AF=DF=MF且點E是AB中點,

∴BD=2EF=12,

∵EF=2MF=6,

∴MF=3,

∴AF=DF=MF=3,

∴AM=DM=3,

當點D,點M在BC邊下方,CDBD時,AM=BM+CD,

∴CD=3﹣(12﹣3)=6﹣12<0,

故不存在這樣的點D,

當點D在AB邊左側,點M在ABC外部時,BM=CD+AM,

∴CD=BM﹣AM=12﹣6,

當點D在AB邊左側,點M在ABC外部時,CD=BM+AM,

∵AB<DM,

不存在這樣的點D,

綜上所述,CD=12﹣6,

故答案為12﹣6.

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如圖(2),ABC中,∠BAC90°,ABAC,點MAB上一點,點DBC上一點,連接MD,以MD為一邊作MDE,使∠DME90°,MDME,連接BE,則∠EBD________.(直接寫出答案,不寫過程,但要求作出輔助線)

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如圖(3),ABC是等邊三角形,點DBC上一點,連接AD,以AD為一邊作等邊三角形ADE,連接BE,則BE、BC之間有怎樣的數(shù)量關系?________(直接寫出答案,不寫過程).

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如圖(4),ABC是等邊三角形,點MAB上一點,點DBC上一點,連接MD,以MD為一邊作等邊三角形MDE,連接BE.猜想∠EBD的度數(shù),并說明理由.

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