Question

1．四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC上（不與端點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)F在對角線AC上，且EF⊥AC，連接AE，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，連接DF、FG
（1）若AB=7$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{2}$，求FG的長；
（2）求證：DF=$\sqrt{2}$FG；
（3）將圖1中的△CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊CF的頂點(diǎn)F恰好在正方形ABCD的邊BC上（如圖2），連接AE、點(diǎn)G仍是AE的中點(diǎn)，猜想BF與FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可；
（2）先判斷出DF=BF，然后判斷出點(diǎn)A，F(xiàn)，E，B四點(diǎn)共圓，圓心為G，再判斷出△BGF為等腰直角三角形，即可；
（3）先判斷出△AGB≌△CGB，得到∠GBF=45°，再判斷出△EFG≌△CFG，得到∠GFB=45°從而得到△BGF為等腰直角三角形，即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，
根據(jù)勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∵點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，
∴FG=$\frac{1}{2}$AE=5；
（2）連接BF，BG，如圖1，

∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴AB=AD，∠DAC=∠BAC，
∵AF=AF，
∴△AFD≌△AFB，
∴DF=BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∴點(diǎn)A，F(xiàn)，E，B四點(diǎn)共圓，
∵點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，
∴點(diǎn)G為點(diǎn)A，F(xiàn)，E，B四點(diǎn)共圓的圓心，
∵∠BAC=45°，
∴∠BGF=2∠BAC=90°，
在Rt△ABE中，BG=$\frac{1}{2}$AE，
在Rt△AFE中，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AE，
∴BG=FG，
∴∠BGF=90°，
∴△BGF為等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$FG，
∵DF=BF，
∴DF=$\sqrt{2}$FG，
（3）BF=$\sqrt{2}$FG；連接BG，CG

∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，AB=BC，
由旋轉(zhuǎn)有，∠CFE=90°，∠ECF=45°，
∴∠ACE=90°，
∵點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，
∴EG=CG=AG，
∴△AGB≌△CGB，
∴∠ABG=∠CBG=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵EG=CG，EF=CF，F(xiàn)G=FG，
∴△EFG≌△CFG，
∴∠EFG=∠CFG=360°-∠BFE=360°-90°=270°，
∴∠EFG=135°，
∵∠BFE=90°，
∴∠BFG=45°，
∴△BGF為等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$FG．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷方法和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的特征，判斷△BGF為等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵，作出輔助線是解本題的難點(diǎn)．