Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于D，C兩點(diǎn)，連接，，已知，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)P作交y軸于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）設(shè)E為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）或（，）或（，）；（3）當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少．

【解析】

（1）把A、C兩點(diǎn)代入拋物線解析式，即可得到關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可求出m、n的值，進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）先求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，從而∠ACB＝90°；過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，再分點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方和點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，分別利用相似三角形的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式即可求得x的值，問(wèn)題即得解決；

（3）如圖3，過(guò)A作射線AF∥x軸，過(guò)D作射線DF∥y軸，DF與AC交于點(diǎn)E，DF與AF交于點(diǎn)F，易求得點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)為：t＝＝DE+EF=DF，此時(shí)點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)最少，然后求出點(diǎn)D坐標(biāo)后，把D的橫坐標(biāo)代入直線AC解析式即可求出結(jié)果.

解：（1）把，代入拋物線的解析式，得；，解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．

聯(lián)立，解得：或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．

∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），

∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，

∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝90°，且tan∠BAC＝；

過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA＝90°．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG＝x．

∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，

①如圖2①，當(dāng)∠PAQ＝∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，∴，

∴AG＝3PG＝3x，則P（x，3﹣3x），

把P（x，3﹣3x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）；

②如圖2②，當(dāng)∠PAQ＝∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG＝PG＝x，則P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝，

∴P（，）；

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，

①當(dāng)∠PAQ＝∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，

∵△PGA∽△BCA，∴，

∴AG＝3PG＝3x，則P（x，3+3x），

把P（x，3+3x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝11；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．

②當(dāng)∠PAQ＝∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG＝PG＝x，則P（x，3+x），

把P（x，3+x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝，

∴P（，）；

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）或（，）或（，）；

（3）如圖3，過(guò)A作射線AF∥x軸，過(guò)D作射線DF∥y軸，DF與AC交于點(diǎn)E，DF與AF交于點(diǎn)F．

∵A（0，3），C（3，0），∴lAC：y＝﹣x+3，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，

∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°，

∴EF＝AEsin45°＝，

∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)為：t＝＝DE+EF=DF，即當(dāng)AF⊥DF時(shí)，DE+EF取得最小值DF，此時(shí)點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)最少，

∵拋物線的解析式為，令y=0，則，解得：，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則E點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入lAC：y＝﹣x+3，得y＝1，所以E（2，1）．

即當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少．