Question

如圖，⊙A與x軸交于B（2，0）、C（4，0）兩點，OA=3，點P是y軸上的一個動點，PD切⊙O于點D，則PD的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：連接AP，由B和C的坐標，得出OB及OC的值，根據OC-OB=BC求出BC的長，即為圓A的直徑，可得出圓A的半徑，進而由OA=OB+AB可得出OA的長，設P的坐標為（0，y），表示出OP=|y|，在直角三角形OAP中，根據勾股定理表示出AP²，由DP為圓A的切線，根據切線的性質得到AD與DP垂直，可得三角形APD為直角三角形，由AD及表示出的AP²，利用勾股定理表示出PD的長，根據完全平方式最小值為0，可得出當y=0時，PD達到最小值，即可求出此時PD的長．

解答：解：連接AP，如圖所示：

∵B（2，0）、C（4，0），
∴OB=2，OC=4，
∴BC=OC-OB=4-2=2，即圓A的直徑為2，
∴AD=1，OA=OB+AB=2+1=3，
又∵DP為圓A的切線，
∴AD⊥DP，
∴∠ADP=90°，
設P（0，y），
在Rt△AOP中，OA=3，OP=|y|，
根據勾股定理得：AP²=OA²+OP²=9+y²，
在Rt△APD中，AD=1，
根據勾股定理得：PD²=AP²-AD²=9+y²-1=y²+8，
則PD=

y2+8

，
則當y=0時，PD達到最小值，最小值為

8

=2

2

．
故答案為：2

2

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，以及點的坐標，利用了轉化的思想，解題的關鍵是連接出輔助線AP，構造直角三角形，利用勾股定理及切線的性質來解決問題．