Question

如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線(xiàn)段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過(guò)P作PE⊥PA交CD所在直線(xiàn)于E．設(shè)BP=x，CE=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線(xiàn)段CD上，求m的取值范圍；
（3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明△ABP∽△PCE，利用比例線(xiàn)段關(guān)系求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中求出的y與x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；
（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)及已知條件，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出BP的長(zhǎng)度．解答中提供了三種解法，可認(rèn)真體會(huì)．
解答：解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
∴y=x²+x．

（2）∵y=x²+x=（x-）²+，
∴當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，最大值為．
∵點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線(xiàn)段CD上，
∴≤1，解得m≤．
∴m的取值范圍為：0＜m≤．

（3）由折疊可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB．
∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，
∴∠GAP=∠APB，
∴∠GAP=∠APG，
∴AG=PG=PC．

解法一：如解答圖所示，分別延長(zhǎng)CE、AG，交于點(diǎn)H，
則易知ABCH為矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH²+HE²=GE²，
即：x²+（2-y）²=y²，化簡(jiǎn)得：x²-4y+4=0  ①
由（1）可知，y=x²+x，這里m=4，∴y=x²+2x，
代入①式整理得：3x²-8x+4=0，解得：x=或x=2，
∴BP的長(zhǎng)為或2．
解法二：如解答圖所示，連接GC．
∵AG∥PC，AG=PC，
∴四邊形APCG為平行四邊形，∴AP=CG．
易證△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．
過(guò)點(diǎn)G作GN⊥PC于點(diǎn)N，則GN=2，PN=PC-CN=4-2x．
在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN²+GN²=PG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
整理得：x²-8x+4=0，解得：x=或x=2，
∴BP的長(zhǎng)為或2．
解法三：過(guò)點(diǎn)A作AK⊥PG于點(diǎn)K，
∵∠APB=∠APG，
∴AK=AB．
易證△APB≌△APK，
∴PK=BP=x，
∴GK=PG-PK=4-2x．
在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK²+AK²=AG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
整理得：3x²-8x+4=0，
解得：x=或x=2，
∴BP的長(zhǎng)為或2．
點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折疊、函數(shù)關(guān)系式、二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)，所涉及考點(diǎn)眾多，有一定的難度．注意第（2）問(wèn)中求m取值范圍時(shí)二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，以及第（3）問(wèn)中構(gòu)造直角三角形的方法．