Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2，OA和AB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的兩個實數(shù)根．

（1）求弦AB的長度；

（2）計算S△AOB；

（3）⊙O上一動點P從A點出發(fā)，沿逆時針方向運動一周，當(dāng)S△POA=S△AOB時，求P點所經(jīng)過的弧長（不考慮點P與點B重合的情形）．

Answer 1

【答案】（1）AB=2；（2）S△AOB=；（3）當(dāng)S△POA=S△AOB時，P點所經(jīng)過的弧長分別是、、．

【解析】試題分析：（1）OA和AB的長度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求出AB的長度；

（2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的長度即可求出面積；

（3）由題意知：兩三角形有公共的底邊，要面積相等，即高要相等．

試題解析：（1）由題意知：OA和AB的長度是x2﹣4x+a=0的兩個實數(shù)根，

∴OA+AB=﹣=4，

∵OA=2，

∴AB=2；

（2）過點C作OC⊥AB于點C，

∵OA=AB=OB=2，∴△AOB是等邊三角形，∴AC=AB=1，

在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC=，∴S△AOB=AB﹒OC=×2×=；

（3）延長AO交⊙O于點D，由于△AOB與△POA有公共邊OA，

當(dāng)S△POA=S△AOB時，∴△AOB與△POA高相等，

由（2）可知：等邊△AOB的高為，∴點P到直線OA的距離為，這樣點共有3個

①過點B作BP1∥OA交⊙O于點P1，∴∠BOP1=60°，

∴此時點P經(jīng)過的弧長為： =，

②作點P2，使得P1與P2關(guān)于直線OA對稱，∴∠P2OD=60°，

∴此時點P經(jīng)過的弧長為： =，

③作點P3，使得B與P3關(guān)于直線OA對稱，∴∠P3OP2=60°，

∴此時P經(jīng)過的弧長為： =，

綜上所述：當(dāng)S△POA=S△AOB時，P點所經(jīng)過的弧長分別是、、．