Question

設(shè)拋物線與x軸交于兩個不同的點(diǎn)A（－1，0）、B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C.且∠ACB＝90°.

（1）求m的值；

（2）求拋物線的解析式，并驗(yàn)證點(diǎn)D（1，－3 ）是否在拋物線上；

（3）已知過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)E. 問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似？若存在，請求出所有符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo). 若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：（1）令x＝0，得y＝－2   ∴C（0，－2）

∵∠ACB＝90°，CO⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA?OB＝OC²

∴OB＝       ∴m＝4    

（2）將A（－1，0），B（4，0）代入，解得

∴拋物線的解析式為

當(dāng)x=1時，=－3，∴點(diǎn)D（1，－3）在拋物線上。（3）由    得   ，∴E（6，7）

過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），

∴ AH＝EH＝7      ∴∠EAH＝45°

作DF⊥x軸于F，則F（1，0）

∴BF＝DF＝3         ∴∠DBF＝45°

∴∠EAH=∠DBF=45°

∴∠DBH=135°，90°<∠EBA<135°

則點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的左側(cè)，有以下兩種情況：

①若△DBP₁∽△EAB，則,∴

∴，∴

②若△∽△BAE，則,∴

∴    ∴

綜合①、②，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：