Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，且弦CD⊥AB于點E，過點B作⊙O的切線與AD的延長線交于點F．

（1）若EN⊥BC于點N，延長NE與AD相交于點M．求證：AM=MD；

（2）若⊙O的半徑為10，且cosC =，求切線BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BF的長為15.

【解析】（1）由AB為⊙O的直徑，根據(jù)同弧所對的圓周角相等證得∠C=∠NEB，繼而可證得結(jié)論；（2）由AB為⊙O的直徑，可得∠BDF=90°，由BF是切線，可得∠DBF=∠C，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理，求得BF的長．

（1）證法一：∵∠A與∠C對同弧BD，∴∠A=∠C

∵CD⊥AB于點E，∴∠CEB=90°.∴∠C+∠CBE=90°.

∵MN⊥BC，∴∠ENB=90°.∴∠NEB + ∠CBE =90°.

∴∠C=∠NEB

∵∠NEB=∠AEM，∴∠AEM=∠A.∴AM =ME.

∵∠AEM=∠A，∠MED+∠AEM=90°，

∠EDA+∠A =90°，

∴∠MED=∠EDA.∴ME=MD.∴AM =MD．

證法二：∵∠CDA與∠CBA對同弧AC，

∴∠CDA=∠CBA

∵CD⊥AB于點E，∴∠AED=90°.

∴∠MED+∠MEA=90°.

∵MN⊥BC，∴∠ENB=90°.

∴∠CBA + ∠BEN =90°.

∵∠MEA=∠BEN，∴∠MED=∠CBA.

∴∠MED=∠CDA.∴ME=MD.

∵∠MED+∠AEM=90°，∠CDA+∠A =90°，

∴∠AEM =∠A.∴AM=ME.∴AM =MD．

（2）解：∵BF與⊙O相切于點B，∴AB⊥BF.∴∠ABF=90°.

∵∠C與∠A對同弧BD，∴∠C=∠A.∴cosA=cosC=.

∴. ∴AF=

∴．

“點睛”此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．