Question

關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根；甲同學看錯了二次項系數(shù)，解的方程的兩根為2、4；乙同學看錯了某一項的系數(shù)符號，解得方程的兩根為-1、4；求：

2a+3c

a

的值是多少？

Answer 1

分析：先利用兩根分別表示出錯誤的方程為：甲，設k（x-2）（x-4）=0得kx²-6kx+8k=0；乙，設p（x+1）（x-4）=0得px²-3px-4p=0，無論怎么錯誤，甲和乙的方程里面常量相同，就是8k=-4p，即

k

p

=-

1

2

，把第一個方程中的一次項和常數(shù)項，第二個方程中的二次項代入所求代數(shù)式中化簡后可解．

解答：解：對于甲：設k（x-2）（x-4）=0
得kx²-6kx+8k=0．
對于乙：設p（x+1）（x-4）=0
得px²-3px-4p=0
從這兩個方程可看出：無論怎么錯誤，甲和乙的方程里面常量相等，
所以8k=-4p，即

k

p

=-

1

2

，p=-2k，
∴a=-2k，b=-6k，c=8k，
則

2a+3c

a

=

-4k+24k

-2k

=-10．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系及根的判別式，難度較大，關鍵是掌握利用方程的兩根來表示出兩個錯誤的方程，并通過比較后，得出初步判斷為無論怎么錯誤，甲和乙的方程里面常量只是符號相反這個關鍵的等量關系，然后通過等量代換求解．此題要求十分熟悉一元二次方程的特點，以及方程之間的關系．