Question

如圖二次函數(shù)的圖象交y軸于點A，頂點為點B．
（1）判斷點B是否在直線y=x上，并說明理由；
（2）若直線y=kx+1交y軸于點P，交直線AB于點C，若△APC為等腰三角形，求直線y=kx+1的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知的二次函數(shù)解析式化為頂點坐標式，即可得到頂點B的坐標，然后將其坐標代入直線OB中進行驗證即可．
（2）根據(jù)直線PC的坐標，可確定P（0，1），根據(jù)A、B的坐標可知，△ABO是等腰直角三角形，然后分三種情況考慮：
①AC=PC，此時PC與OB平行，即直線PC的斜率為1，可據(jù)此確定該直線的解析式；
②AP=PC，此時PC與x軸平行，即k=0，該直線的解析式為y=1；
③AP=AC=3，過C作CD⊥x軸于D，設(shè)直線AB與x軸的交點為E，易得CE的長，而△CDE是等腰直角三角形，即可求得CD、DE的長，從而得到點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得此時直線PC的解析式．
解答：解：（1）已知=（x-2）²+2，
故B（2，2）；
代入直線y=x中，得2=2，
所以點B在直線y=x上．

（2）由于A（0，4），B（2，2）；
故△AOB是等腰直角三角形，且∠ABO=90°；
易知：P（0，1），AP=3，
分三種情況：
①AC=PC，則PC∥OB，由于直線OB：y=x，則直線PC：y=x+1；
②AP=PC，此時AP⊥y軸，即AP∥x軸，故k=0，直線PC：y=1；
③AP=AC=3，過C作CD⊥x軸于D；
則CE=AE-AC=4-3，CD=DE=4-，OD=OE-DE=；
故C（，4-），代入直線y=kx+1，
得：k+1=4-，k=-1；
故直線PC：y=（-1）x+1；
綜上所述，直線y=kx+1的解析式為：y=x+1或y=1或y=（-1）x+1．
點評：此題主要考查了拋物線頂點坐標的求法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的構(gòu)成情況、一次函數(shù)解析式的確定等知識，要注意的是（2）題中，由于等腰三角形的腰和底沒有明確告知，需要分類討論，以免漏解．