Question

【題目】在三角形ABC中，點(diǎn)D在線段AB上，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線BC上，作直線EF，過點(diǎn)D作直線DH∥AC交直線EF于點(diǎn)H.

（1）在如圖1所示的情況下，求證:∠HDE=∠C；

（2）若三角形ABC不變，D，E兩點(diǎn)的位置也不變，點(diǎn)F在直線BC上運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)點(diǎn)H在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫出∠DHF與∠FEC的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)點(diǎn)H在三角形ABC外部時(shí)，①中結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫圖探究，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠DHF＋∠FEC=180°；②當(dāng)點(diǎn)H在三角形ABC外部時(shí)，∠DHF=∠FEC，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)“平行線的性質(zhì)”結(jié)合“已知條件”分析證明即可；

（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)H在△ABC內(nèi)部時(shí)，由DH∥AC可得∠FEC=∠DHE，結(jié)合∠DHE+∠DHF=180°，即可得到：此時(shí)∠DHF+∠FEC=180°；

②當(dāng)點(diǎn)H不在△ABC內(nèi)部時(shí)，分點(diǎn)H在直線DE的上方和下方兩種情況畫出圖形，如圖2-1和圖2-2所示，再根據(jù)“平行線的性質(zhì)”結(jié)合“已知條件”進(jìn)行分析證明可得：此時(shí)∠DHF=∠FEC.

（1）∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠C，

∵DH∥AC，

∴∠HDE=∠ADE.

（2）①當(dāng)點(diǎn)H在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠DHF＋∠FEC=180°，理由如下：

∵DH∥AC，

∴∠FEC=∠DHE，

又∵∠DHE+∠DHF=180°，

∴∠DHF+∠FEC=180°；

②當(dāng)點(diǎn)H在△ABC外部時(shí)，①中結(jié)論不成立，理由如下：

ⅰ).如圖2-1，當(dāng)點(diǎn)H在直線DE上方時(shí)，

∵DH∥AC，

∴∠DHF=∠FEC.

ⅱ).如圖2-2，當(dāng)點(diǎn)H在直線DE下方時(shí)，

∵DH∥AC，

∴∠DHF=∠FEC.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)H在△ABC外部時(shí)，∠DHF=∠FEC.