Question

3．有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，因此正方形是四邊相等，四角相等的四邊形．
初二數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q．
（1）求證：DP=DQ
（2）如圖②，小聰在圖①的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并予以證明；
（3）如圖③，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，仍作∠PDQ的平分線(xiàn)DE交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接PE，若AB：AP=3：4，請(qǐng)幫小聰算出△DEP的面積．

Answer 1

分析 （1）證明△ADP≌△CDQ，即可得到結(jié)論：DP=DQ；
（2）證明△DEP≌△DEQ，即可得到結(jié)論：PE=QE；
（3）與（1）（2）同理，可以分別證明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的長(zhǎng)度，從而可求得S_△DEQ=$\frac{150}{7}$，而△DEP≌△DEQ，所以S_△DEP=S_△DEQ$\frac{150}{7}$．

解答 證明：（1）∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ．
在△ADP與△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠DCQ=90°}\\{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．

（2）猜測(cè)：PE=QE．
證明：由（1）可知，DP=DQ．
在△DEP與△DEQ中，$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{∠PDE=∠QDE=45°}\\{DE=DE}\end{array}\right.$
∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．

（3）解：∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
與（1）同理，可以證明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
與（2）同理，可以證明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
設(shè)QE=PE=x，則BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP²+BE²=PE²，
即：2²+（14-x）²=x²，
解得：x=$\frac{50}{7}$，即QE=$\frac{50}{7}$．
∴S_△DEQ=$\frac{1}{2}$QE•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{50}{7}$×6=$\frac{150}{7}$．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S_△DEP=S_△DEQ=$\frac{150}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．解本題的關(guān)鍵是判定△ADP≌△CDQ和△DEP≌△DEQ，試題難度不大，但要注意認(rèn)真計(jì)算，避免出．