Question

12．已知：正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，
（1）四邊形EFGH是正方形嗎？為什么？
（2）若正方形ABCD的邊長為4cm，且AE=BF=CG=DH=1cm，請求出四邊形EFGH的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長，然后即可求得面積．

解答 （1）四邊形EFGH是正方形；
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}\\{AH=BE=CF=DG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形；

（2）∵正方形ABCD的邊長為4cm，且AE=BF=CG=DH=1cm，
∴AE=BF=CG=DH=3，
∴正方形EFGH的面積=EH²=AH²+AE²=1²+3²=10．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解正方形的判定方法及其性質(zhì)，難度不大．