Question

已知直線y=-2x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，AC=2．
（1）點(diǎn)P在直線y=-2x-4上，△PAC是以AC為底的等腰三角形，
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線CP的解析式；
②請(qǐng)利用以上的一次函數(shù)解析式，求不等式-x-2＞x+4的解集．
（2）若點(diǎn)M（x，y）是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△BCM的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖象．

Answer 1

分析：（1）①對(duì)于一次函數(shù)y=-2x-4，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，再由AC為2，且C在x軸的負(fù)半軸上求出C的坐標(biāo)，三角形PAC是以AC為底邊的等腰三角形得到P的橫坐標(biāo)為-3，代入直線方程求出縱坐標(biāo)，即可確定出P的坐標(biāo)，設(shè)直線CP解析式為y=kx+b，將P與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線CP的解析式；
②將所求不等式變形，利用圖象即可求出解集；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)M在線段AB上時(shí)，三角形BCM的面積=三角形ABC面積-三角形ACM的面積，表示出S與X關(guān)系式即可；當(dāng)M在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，三角形BCM的面積-三角形ACM面積-三角形ABC面積，表示出S與x關(guān)系式即可，并畫出相應(yīng)的圖象，如圖所示．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-2x-4與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴令x=0求出y=-4；令y=0求出x=-2，
∴A（-2，0），B（0，-4），
∵AC=2，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，
∴C（-4，0），
過P作PQ⊥x軸，
∵△PAC是以AC為底的等腰三角形，
∴Q為AC的中點(diǎn)，即P橫坐標(biāo)為-3，
將x=-3代入y=-2x-4中得：y=6-4=2，
∴P（-3，2），
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，
將P與C坐標(biāo)代入得：

-4k+b=0 -3k+b=2

，
解得：

k=2 b=8

，
∴直線PC的解析式為y=2x+8；

（2）由-x-2＞x+4，可得-2x-4＞2x+8，
令y₁=-2x-4，y₂=2x+8，
當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，由圖象可知x＜-3，
故不等式-x-2＞x+4的解集是x＜-3；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，如圖1所示，
S=S_△ABC-S_△ACM=

1

2

×2×4-

1

2

×2×（2x+4）=

1

2

×2×（4-2x-4）=-2x（-2≤x＜0）；  
當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，S=S_△ACM-S_△ABC=2x（x＞0），
綜上，S=

-2x，(-2≤x＜0) 2x，(x＞0)

，
作出圖象，如圖所示：

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題．