Question

已知：拋物線y=ax²+（a-2）x-2過點A（3，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y=ax²+（a-2）x-2在直線y=-1下方的部分沿直線y=-1翻折，圖象其余的部分保持不變，得到的新函數(shù)圖象記為G．點M（m，y₁）在圖象G上，且y₁≤0．
①求m的取值范圍；
②若點N（m+k，y₂）也在圖象G上，且滿足y₂≥4恒成立，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（3，4）代入y=ax²+（a-2）x-2，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式為y=x²-x-2；
（2）①圖象G的解析式分為兩部分，當x≤

-1- 5

2

或x≥

1+ 5

2

時，y=x²-x-2，此時與x軸的兩個交點為（-1，0），（2，0）；當

-1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

時，根據(jù)對稱性求出解析式為y=-（x-

1

2

）²+

1

4

，即y=-x²+x，此時與x軸的兩個交點為（0，0），（1，0）．所以當點M（m，y₁）在圖象G上，且y₁≤0時，可得m的取值范圍是-1≤m≤0或1≤m≤2；
②先根據(jù)y₂≥4求出自變量的取值范圍是m+k≤-2或m+k≥3，又由①知-1≤m≤0或1≤m≤2，根據(jù)不等式的性質即可得出k≤-4或k≥4．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+（a-2）x-2過點A（3，4），
∴4=9a+3（a-2）-2，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）①∵y=x²-x-2，
∴當y=0時，x²-x-2=0，解得x=-1或2，
∴y=x²-x-2與x軸交于點（-1，0），（2，0）．
當y=-1時，x²-x-2=-1，解得x=

1± 5

2

，
∵y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴頂點為（

1

2

，-

9

4

），它關于直線y=-1對稱點的坐標為（

1

2

，

1

4

），
∴當x≤

-1- 5

2

或x≥

1+ 5

2

時，圖象G的解析式不變，仍然為y=x²-x-2；
當

-1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

時，圖象G的解析式為y=-（x-

1

2

）²+

1

4

，即y=-x²+x，
當y=0時，-x²+x=0，解得x=0或1，
∴如果點M（m，y₁）在圖象G上，且y₁≤0時，-1≤m≤0或1≤m≤2；

②由圖象可知，y≥4時，x²-x-2≥4，
解得x≤-2或x≥3．
∴m+k≤-2或m+k≥3，
又∵-1≤m≤0或1≤m≤2，
∴k≤-4或k≥4．
故答案為k≤-4或k≥4．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與不等式的關系，對稱軸與坐標軸平行時二次函數(shù)解析式的特點，不等式的性質，難度適中．運用數(shù)形結合是解題的關鍵．