Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+2經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．

（1）如圖1，求a、c的值；

（2）如圖2，點(diǎn)P為拋物線y＝ax2+x+c在第一象限的圖象上一點(diǎn)，連接AP、CP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△ACP的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，直線OD與直線BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線OD上一點(diǎn)，連接BP、BF、PF、PD，BF＝BP，∠FBP＝90°，若OE＝，求直線PD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）a=、c=2；（2）S＝t2+t（0＜t＜4）；（3）直線PD的解析式為y＝x+．

【解析】

（1）令y＝kx+2中x=0，可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將B，C的坐標(biāo)代入y＝ax2+x+c，可求出a，c的值；

（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，且與直線AC交于點(diǎn)K，過點(diǎn)C作PK的垂線，垂足為點(diǎn)N，先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可得出直線y＝kx+2的解析式，由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，可得P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2），得出PK＝t2+t，最后根據(jù)S＝S△AMK﹣S△AMP﹣S△CPK可得出函數(shù)解析式；

（3）過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，結(jié)合面積法和勾股定理可先求出OH，BH的長，進(jìn)一步可得出EH，BE，CE的長；過點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，先得出tan∠CEG＝tan∠OBE＝，可求出CG，EG的長，從而可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線OE的解析式，再與直線AC的解析式聯(lián)立可求出點(diǎn)D坐標(biāo)；過點(diǎn)B作x軸的垂線，與過點(diǎn)P、F作的y軸的垂線分別交于Q、T兩點(diǎn)，先證明△PQB≌△BTF，從而有BT＝PQ＝4﹣t，FT＝BQ＝﹣t2+t+2，F（t2﹣t+2，t﹣4），設(shè)TF交y軸于點(diǎn)I，根據(jù)tan∠OEG＝2＝tan∠OFI可得出關(guān)于t的方程，解出t可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法可求出直線PD的解析式．

解：（1）∵直線y＝kx+2經(jīng)過C點(diǎn)，

∴C（0，2），

把點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，

得到，解得；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，且與直線AC交于點(diǎn)K，過點(diǎn)C作PK的垂線，垂足為點(diǎn)N，

∵y＝﹣x2+x+2，

∴A（﹣1，0），

∵直線y＝kx+2經(jīng)過A點(diǎn)，

∴k＝2，

∴y＝2x+2，

∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，

∴P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2），

∴PK＝t2+t，

∴S＝S△AMK﹣S△AMP﹣S△CPK＝﹣﹣＝＝，

∴S＝t2+t（0＜t＜4）；

（3）∵OC＝2，OB＝4，

∴tan∠OBE＝，BC=2，

如圖2：過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，

∴OH＝，

∴BH＝=，

∵OE＝，∴EH＝=，

∴BE＝，∴CE＝，

過點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，

∵tan∠CEG＝tan∠OBE＝，

∴CG＝，EG＝，

∴E（﹣，），

∴易得直線OE的解析式y＝﹣2x，

∵直線AC的解析式為y＝2x+2，

∴聯(lián)立直線OE與直線AC的解析式，解得D（﹣，1），

過點(diǎn)B作x軸的垂線，與過點(diǎn)P、F作的y軸的垂線分別交于Q、T兩點(diǎn)，

∵∠FBP＝90°，

∴∠PBQ＝∠BFT，

∵BP＝BF，

∴△PQB≌△BTF（AAS），

∴BT＝PQ＝4﹣t，FT＝BQ＝﹣t2+t+2，

∴F（t2﹣t+2，t﹣4），

設(shè)TF交y軸于點(diǎn)I，

∵tan∠OEG＝2＝tan∠OFI，

∴t﹣4＝﹣2（t2﹣t+2），解得t＝2或t＝0（舍），

∴P（2，3），

設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b，則

，解得，

∴直線PD的解析式為y＝x+．