Question

（1997•河北）已知：如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，弧AE=弧AC，ED交AB于點(diǎn)F．求證：PF•PO=PA•PB．

Answer 1

分析：連接OC、OE，先證明△PDF∽△POC，再利用割線定理，即可證得結(jié)論．

解答：證明：連接OC、OE，則∠COE=2∠CDE，
∵

AE

=

AC

，
∴∠AOC=∠AOE
∴∠AOC=∠CDE
∴∠COP=∠PDF
∵∠P=∠P
∴△PDF∽△POC
∴

PD

PO

=

PF

PC

，
∴PF×PO=PD×PC
∵PA、PC是⊙O的兩條割線，
∴×PD=PA×PB．
∴PF•PO=PA•PB．

點(diǎn)評：本題考查的是圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)及割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．