Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點D，BD=8cm．點M從點A出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；同時直線PQ由點B出發(fā)，沿BA的方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，運(yùn)動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜5）．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm²，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使S_{四邊形PQCM}=S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（4）連接PC，是否存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）假設(shè)PQCM為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行，進(jìn)而得到AP=AM，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；
（2）根據(jù)PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知△BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代數(shù)式就可以表示出BF，進(jìn)而得到梯形的高PE=DF=8-t，又點M的運(yùn)動速度和時間可知點M走過的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到y(tǒng)與t的關(guān)系式；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，先求出三角形ABC的面積，又根據(jù)S_{四邊形PQCM}=S_△ABC，求出四邊形PQCM的面積，從而得到了y的值，代入第二問求出的y與t的解析式中求出t的值即可；
（4）假設(shè)存在，則根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到MP=MC，過點M作MH垂直AB，由一對公共角的相等和一對直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到對應(yīng)邊成比例進(jìn)而用含t的代數(shù)式表示出AH和HM的長，再由AP的長減AH的長表示出PH的長，從而在直角三角形PHM中根據(jù)勾股定理表示出MP的平方，再由AC的長減AM的長表示出MC的平方，根據(jù)兩者的相等列出關(guān)于t的方程進(jìn)而求出t的值．

解答：解：（1）假設(shè)四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得：t=

10

3

，
∴當(dāng)t=

10

3

時，四邊形PQCM是平行四邊形；
（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，
∴

BF

BD

=

BP

BA

，即

BF

8

=

t

10

，
解得：BF=

4

5

t，
∴FD=BD-BF=8-

4

5

t，
又∵M(jìn)C=AC-AM=10-2t，
∴y=

1

2

（PQ+MC）•FD=

1

2

（t+10-2t）（8-

4

5

t）=

2

5

t²-8t+40；
（3）不存在；
∵S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×10×8=40，
當(dāng)S_{四邊形PQCM}=S_△ABC時，y=

2

5

t²-8t+40=40，
解得：t=0，或t=20，都不合題意，因此不存在；
（4）假設(shè)存在某一時刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，
過M作MH⊥AB，交AB與H，如圖所示：
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴

HM

BD

=

AH

AD

=

AM

AB

，
又∵AD=

102-82

=6，
∴

HM

8

=

AH

6

=

2t

10

，
∴HM

8

5

t，AH=

6

5

t，
∴HP=10-t-

6

5

t=10-

11

5

t，
在Rt△HMP中，MP²=(

8

5

t)2+(10-

11

5

t)2=

37

5

t²-44t+100，
又∵M(jìn)C²=（10-2t）²=100-40t+4t²，
∵M(jìn)P²=MC²，
∴

37

5

t²-44t+100=100-40t+4t²，
解得 t1=

20

17

，t₂=0（舍去），
∴t=

20

17

s時，點M在線段PC的垂直平分線上．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．第二問的解題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的高之比等于對應(yīng)邊之比得出比例，進(jìn)而求出關(guān)系式，第三問和第四問都屬于探究性試題，需要采用“逆向思維”，都應(yīng)先假設(shè)存在這樣的情況，從假設(shè)出發(fā)作為已知條件，尋找必要條件，從而達(dá)到解題的目的．