【題目】如圖1,點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上任意一點(diǎn),以DE為邊作正方形DEFG,連接BF,點(diǎn)M是線段BF中點(diǎn),射線EM與BC交于點(diǎn)H,連接CM.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,此時(shí)點(diǎn)F恰好落在線段CD上,如圖2,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)點(diǎn)E、G恰好分別落在線段AD、CD上,如圖3,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)CM=EM,CM⊥EM,理由見(jiàn)解析;(2)(1)中的結(jié)論成立,理由見(jiàn)解析;(3)(1)中的結(jié)論成立,理由見(jiàn)解析.
【解析】(1)延長(zhǎng)EM交AD于H,證明△FME≌△AMH,得到HM=EM,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)A、E、C在同一條直線上,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半證明即可;
(3)根據(jù)題意畫(huà)出完整的圖形,根據(jù)平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)證明即可.
(1)如圖1,結(jié)論:CM=EM,CM⊥EM.
理由:∵AD∥EF,AD∥BC,
∴BC∥EF,
∴∠EFM=∠HBM,
在△FME和△BMH中,
,,
∴△FME≌△BMH,
∴HM=EM,EF=BH,
∵CD=BC,
∴CE=CH,∵∠HCE=90°,HM=EM,
∴CM=ME,CM⊥EM.
(2)如圖2,連接AE,
∵四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形,
∴∠FDE=45°,∠CBD=45°,
∴點(diǎn)B、E、D在同一條直線上,
∵∠BCF=90°,∠BEF=90°,M為AF的中點(diǎn),
∴CM=AF,EM=AF,
∴CM=ME,
∵∠EFD=45°,
∴∠EFC=135°,
∵CM=FM=ME,
∴∠MCF=∠MFC,∠MFE=∠MEF,
∴∠MCF+∠MEF=135°,
∴∠CME=360°-135°-135°=90°,
∴CM⊥ME.
(3)如圖3,連接CF,MG,作MN⊥CD于N,
在△EDM和△GDM中,
,
∴△EDM≌△GDM,
∴ME=MG,∠MED=∠MGD,
∵M(jìn)為BF的中點(diǎn),F(xiàn)G∥MN∥BC,
∴GN=NC,又MN⊥CD,
∴MC=MG,
∴MD=ME,∠MCG=∠MGC,
∵∠MGC+∠MGD=180°,
∴∠MCG+∠MED=180°,
∴∠CME+∠CDE=180°,
∵∠CDE=90°,
∴∠CME=90°,
∴(1)中的結(jié)論成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為落實(shí)“美麗泰州”的工作部署,市政府計(jì)劃對(duì)城區(qū)道路進(jìn)行改造,現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成該改造工作.已知甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)工作效率的倍,甲隊(duì)改造720米的道路比乙隊(duì)改造同樣長(zhǎng)的道路少用4天.
(1)甲、乙兩工程隊(duì)每天能改造道路的長(zhǎng)度分別是多少米?
(2)若甲隊(duì)工作一天需付費(fèi)用7萬(wàn)元,乙隊(duì)工作一天需付費(fèi)用5萬(wàn)元,若需改造的道路全長(zhǎng)2400米,改造總費(fèi)用不超過(guò)195萬(wàn)元,則至少安排甲隊(duì)工作多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,MN是⊙O的直徑,作AB⊥MN,垂足為點(diǎn)D,連接AM,AN,點(diǎn)C為上一點(diǎn),且,連接CM,交AB于點(diǎn)E,交AN于點(diǎn)F,現(xiàn)給出以下結(jié)論:①AD=BD;②∠MAN=90°;③;④∠ACM+∠ANM=∠MOB;⑤AE=MF.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB30°,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn),且OP6,若點(diǎn)M,N分別是射線OA,OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn),則△PMN周長(zhǎng)的最小值是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知:梯形ABCD中,∠ABC=90°,∠DAB=45°,AB∥DC,DC=3,AB=5,點(diǎn)P在AB邊上,以點(diǎn)A為圓心AP為半徑作弧交邊DC于點(diǎn)E,射線EP于射線CB交于點(diǎn)F.
(1)若AP,求DE的長(zhǎng);
(2)聯(lián)結(jié)CP,若CP=EP,求AP的長(zhǎng);
(3)線段CF上是否存在點(diǎn)G,使得△ADE與△FGE相似?若相似,求FG的值;若不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,對(duì)角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E、F滿足BE=DF,連接AE、AF、CE、CF,如圖所示.
(1)求證:△ABE≌△ADF;
(2)試判斷四邊形AECF的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過(guò)A(1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn).
(1)求這條拋物線和直線BC的解析式;
(2)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)E,使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與COB相似?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀:我們約定,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線,叫該點(diǎn)的“特征線”.例如,點(diǎn)M(1,3)的特征線有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.問(wèn)題與探究:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC,點(diǎn)B在第一象限,A、C分別在x軸和y軸上,拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)D(m,n)所有的特征線 ;
(2)若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1,求此拋物線的解析式;
(3)點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn),連接OP,將△OAP沿著OP折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置,當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí),滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離,其頂點(diǎn)落在OP上?
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