Question

【題目】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，線段OA，OB的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．

（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點(diǎn)G，H，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵EF是△OAB的中位線，

∴EF∥AB，EF= AB，

而CD∥AB，CD= AB，

∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，

∴△FOE≌△DOC

（2）

解：∵EF∥AB，

∴∠OEF=∠CAB，

∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，

∴sin∠OEF=sin∠CAB= = =

（3）

解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，

∴△AEG∽△ACD，

∴ = ，即EG= CD，

同理FH= CD，

∴ = =

【解析】（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行線的性質(zhì)可證△FOE≌△DOC；（2）由平行線的性質(zhì)可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC與BC的關(guān)系，再求正弦值；（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和三角形中位線定理的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．