【題目】(1)問題背景:如圖①,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,AB=AC,P為上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),求證:PA=PB+PC.請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的軸助線,給出作法并完成證明過程.
(2)類比遷移:如圖②,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,求OC的最小值
(3)拓展延伸:如圖③,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB= AC,AB⊥AC,垂足為A,則OC的最小值為____________.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
(1)將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABQ的位置,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:∠QBA=∠PCA,AP=AQ,PC=QB,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證點(diǎn)Q,點(diǎn)B,點(diǎn)P共線,根據(jù)勾股定理可證AP=PQ=PC+PB;
(2)連接OA,將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EAB,連接OB,OE,則可得EB=OC,AE=OA=3,∠EAB=∠OAC,根據(jù)勾股定理可求OE=3,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE≥OEOB=33(當(dāng)點(diǎn)B在OE上時(shí),取等號(hào)),即可求OC的最小值;
(3)如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問題,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB.由△QAB∽OAC,推出BQ=OC,當(dāng)BQ最小時(shí),OC最。
解:(1)將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABQ的位置,
∵BC是直徑,
∴∠BAC=90°=∠BPC,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
由旋轉(zhuǎn)可得∠QBA=∠PCA,PA=AQ,PC=QB,
∵∠PCA+∠PBA=180°,
∴∠QBA+∠PBA=180°,
∴Q,B,P三點(diǎn)共線,
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°
∴QP2=AP2+AQ2=2AP2,
∴QP=AP=QB+BP=PC+PB,
∴AP=PC+PB;
(2)如圖②:連接OA,將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EAB,連接OB,OE,
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,
由旋轉(zhuǎn)可得:EB=OC,AE=OA=3,∠EAB=∠OAC,
∴∠EAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°,
∴在Rt△OAE中,OE==3,
∵BE≥OEOB=33(當(dāng)點(diǎn)B在OE上時(shí),取等號(hào)),
∴OC最小值是33;
(3)如圖③中,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB,
∵∠QAO=∠BAC=90°,∠QAB=∠OAC,
∵,
∴△QAB∽△OAC,
∴BQ=OC,
當(dāng)BQ最小時(shí),OC最小,
易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQOB,
∴BQ≥2,
∴BQ的最小值為2,
∴OC的最小值為,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,CD是中線,,一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交,交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F,DF與AE交于點(diǎn)M,DE與BC交于點(diǎn)N.
(1)如圖1,若,求證:;
(2)如圖2,在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中,試證明恒成立;
(3)若,,求DN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了測(cè)量一條兩岸平行的河流寬度,三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案,他們?cè)诤幽习兜狞c(diǎn)A處測(cè)得河北岸的樹H恰好在A的正北方向.測(cè)量方案與數(shù)據(jù)如下表:
(1)哪個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算出河寬?
(2)請(qǐng)選擇其中一個(gè)方案及其數(shù)據(jù)求出河寬(精確到0.1m).
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,內(nèi)接于,,為弧上一點(diǎn),連
(1)如圖1,若為延長線上一點(diǎn),連,求證:平分.
(2)如圖2,若于,過點(diǎn)作圓的切線交直線于,若,求.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展,人們的支付方式發(fā)生了巨大改變,某學(xué)習(xí)小組抽樣調(diào)查了春節(jié)期間某商場(chǎng)顧客的支付方式,主要有現(xiàn)金支付、銀聯(lián)卡支付和手機(jī)支付,調(diào)查得知使用這三種支付的人數(shù)比為,手機(jī)支付已成為市民購物便捷支付方式.手機(jī)支付主要有以下三種方式:~支付寶,~微信,~其他.現(xiàn)將使用手機(jī)支付方式人數(shù)的調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,________;請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該商場(chǎng)春節(jié)期間共20000人購物,請(qǐng)估計(jì)用支付寶進(jìn)行支付的人數(shù).
(3)經(jīng)調(diào)查某天顧客現(xiàn)金支付、銀聯(lián)卡支付、手機(jī)支付每筆交易發(fā)生的平均金額分別為120元、260元、80元,求這天顧客每筆交易的平均金額.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將沿折疊,得到.連接、,若為等腰三角形,則的長為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處.
(1)連接CF,求證:四邊形AECF是菱形;
(2)若E為BC中點(diǎn),BC=26,tan∠B=,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,是直徑,是切線,點(diǎn)為切點(diǎn).
(1)求證:;
(2)如圖,連接交于點(diǎn),連接并延長,交于點(diǎn),求證:;
(3)如圖,延長交于點(diǎn)連接過點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn).若 求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.
(1)求拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸;
(2)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠FBA=2∠BDE時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),以PB為邊作正方形PBGH,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨著改變,當(dāng)頂點(diǎn)G或H恰好落在y軸上時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).
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