【題目】若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),abc≠0)與直線l都經(jīng)過(guò)y軸上的一點(diǎn)P,且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上,則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系.此時(shí),直線l叫做拋物線L的“帶線”,拋物線L叫做直線l的“路線”.
(1)若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;
(2)若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上,它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4,求此“路線”L的解析式;
(3)當(dāng)常數(shù)k滿足≤k≤2時(shí),求拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值范圍.
【答案】(1)m的值為﹣1,n的值為1.(2)y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.(3)≤S≤.
【解析】
試題分析:(1)確定直線y=mx+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可求出n的值;再根據(jù)拋物線的解析式找出頂點(diǎn)坐標(biāo),將其代入直線解析式中即可得出結(jié)論;(2)確定直線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),由此設(shè)出拋物線的解析式,再由直線的解析式找出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論;(3)由拋物線解析式找出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)拋物線的解析式找出其頂點(diǎn)坐標(biāo),由兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法即可得出與該拋物線對(duì)應(yīng)的“帶線”l的解析式,找出該直線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合三角形的面積找出面積S關(guān)于k的關(guān)系上,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)令直線y=mx+1中x=0,則y=1,
即直線與y軸的交點(diǎn)為(0,1);
將(0,1)代入拋物線y=x2﹣2x+n中,
得n=1.
∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).
將點(diǎn)(1,0)代入到直線y=mx+1中,
得:0=m+1,解得:m=﹣1.
答:m的值為﹣1,n的值為1.
(2)將y=2x﹣4代入到y(tǒng)=中有,
2x﹣4=,即2x2﹣4x﹣6=0,
解得:x1=﹣1,x2=3.
∴該“路線”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣6)或(3,2).
令“帶線”l:y=2x﹣4中x=0,則y=﹣4,
∴“路線”L的圖象過(guò)點(diǎn)(0,﹣4).
設(shè)該“路線”L的解析式為y=m(x+1)2﹣6或y=n(x﹣3)2+2,
由題意得:﹣4=m(0+1)2﹣6或﹣4=n(0﹣3)2+2,
解得:m=2,n=﹣.
∴此“路線”L的解析式為y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.
(3)令拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k中x=0,則y=k,
即該拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,k).
拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,),
設(shè)“帶線”l的解析式為y=px+k,
∵點(diǎn)(﹣,)在y=px+k上,
∴=﹣p+k,
解得:p=.
∴“帶線”l的解析式為y=x+k.
令∴“帶線”l:y=x+k中y=0,則0=x+k,
解得:x=﹣.
即“帶線”l與x軸的交點(diǎn)為(﹣,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,k).
∴“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積S=|﹣|×|k|,
∵≤k≤2,
∴≤≤2,
∴S===,
當(dāng)=1時(shí),S有最大值,最大值為;
當(dāng)=2時(shí),S有最小值,最小值為.
故拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為≤S≤.
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【題目】將下列多項(xiàng)式分解因式,結(jié)果中不含因式x﹣1的是( 。
A. x2﹣1 B. x(x﹣2)+(2﹣x) C. x2﹣2x+1 D. x2+2x+1
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A、垂線段B、垂線的長(zhǎng)
C、長(zhǎng)度D、垂線段的長(zhǎng)度
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【題目】(1)如圖 a,若 AB∥CD,點(diǎn) P 在 AB、CD 外部,則∠BPD、∠B、∠D 之間有何數(shù)量關(guān)系?
把下面的解答填上根據(jù):
解:∠B=∠BPD+∠PDC.
理由:作PE∥AB
∵ AB∥CD ( )
∴AB∥CD∥PE ( )
∴∠B=∠BPE, ∠D=∠DPE ( )
∵∠BPE=∠BPD+∠DPE
∴∠B=∠BPD+∠PDC ( )
(2)若AB∥CD,將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部,如圖b,以上結(jié)論是否成立?若成立,說(shuō)明理由;若不成立,則∠BPD、∠B、∠D 之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
(3)在圖 b 中,將直線 AB 繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線 CD 于點(diǎn) Q,如圖 c,則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD 之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 .
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【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. 正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)
B. 有理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)
C. 有理數(shù)是指整數(shù),分?jǐn)?shù),正有理數(shù),負(fù)有理數(shù)和零這五類數(shù)
D. 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
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【題目】同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,則直線c、d的位置關(guān)系為( )
A. 互相垂直 B. 互相平行 C. 相交 D. 無(wú)法確定
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【題目】⊙O的半徑為7cm,點(diǎn)P到圓心O的距離OP=10cm,則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系為( )
A. 點(diǎn)P在圓上 B. 點(diǎn)P在圓內(nèi) C. 點(diǎn)P在圓外 D. 無(wú)法確定
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