【題目】我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”.

概念理解:在“矩形、菱形和正方形”這三種特殊四邊形中,不一定是“等鄰角四邊形”的是______

問題探究:如圖,在等鄰角四邊形ABCD中,∠B=CAB=3,BC=9,P為線段BC上一動點(不包含端點B,C),Q為直線CD上一動點,連結(jié)PAPQ,在P,Q的運動過程中始終滿足∠APQ=B,當CQ達到最大時,試求此時BP的長.

應用拓展:在以60°為等角的等鄰角四邊形ABCD中,∠D=90°,若AB=3,AD=,試求等鄰角四邊形ABCD的周長.

【答案】概念理解:菱形;問題探究:當CQ達到最大時,此時BP的長是;應用拓展:等鄰角四邊形ABCD的周長為12+6-3

【解析】

概念理解:根據(jù)等鄰邊四邊形的定義即可解答;問題探究:設(shè)BP=x,CQ=y,則PC=9-x,根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似證明△PBA∽△QCP,列比例式可得:,則y=-+3x=-x-2+,根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論;應用拓展:準確畫圖后作輔助線,構(gòu)建直角三角形,根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理可求得四邊形各邊的長,相加可得周長.

概念理解:

①∵矩形的四個角都是直角,

根據(jù)“等鄰角四邊形”的定義,

得到矩形是“等鄰角四邊形”;

②同理可得:正方形是“等鄰角四邊形”,

③∵菱形的對角相等,鄰角互補,但不一定相等,

∴菱形不一定是“等鄰角四邊形”;

故答案為:菱形;

問題探究:

如圖,設(shè)BP=xCQ=y,則PC=9-x,

∵∠APB+APQ+CPQ=180°,

∴∠APB+CPQ=180°-∠APQ,

∵∠CPQ+C+CQP=180°,

∴∠CPQ+CQP=180°-∠C,

∵∠C=APQ,

∴∠APB+CPQ=CPQ+CQP

∴∠APB=CQP,

∵∠B=C

∴△PBA∽△QCP,

,

,

y=-+3x=-x-2+,

-0,

∴當x=時,y有最大值是

即當CQ達到最大時,此時BP的長是;.

應用拓展:

3)有兩種情況:

①當∠B=C=60°時,

如圖,延長DA,CB交于E,過BBFDEF

∵∠C=60°,

∴∠E=30°,

∵∠ABC=60°,

∴∠BAE=E=30°,

AB=BE=3,

BF=,EF=AF=

DE=AD+AE=+3=4,

RtDCE中,設(shè)CD=x,則CE=2x,

由勾股定理得:x2+42=2x2,

x4,

CE=8,CD=4,

BC=8-3=5

∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=3+5+4+=12+

②當∠A=B=60°時,如圖所示:

延長ADBC交于點E,

∵∠A=B=60°,

∴△ABE是等邊三角形,

∴∠E=60°,

∵∠ADC=90°,

∴∠DCE=30°,

AB=3,AD=,

DE=3-CE=6-2,CD=DE=3-3,

BC=3-6-2=2-3,

∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=3+2-3+3-3+=6-3

綜上,等鄰角四邊形ABCD的周長為12+6-3

練習冊系列答案
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