Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△MOA的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值，這個(gè)最大值是多少？

（3）若點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q做y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P，判斷有幾個(gè)Q能使以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S=﹣m2﹣2m+8，當(dāng)m=﹣1時(shí)，S有最大值9；（3）Q坐標(biāo)為（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）時(shí)，使點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】

(1)設(shè)拋物線解析式為y＝ ax2 ＋ bx ＋ c,然后把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)利用拋物線的解析式表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)M到x軸的距離，然后根據(jù)三角形面積公式表示并整理即可得解，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的最值，然后即可得解;

(3)利用直線與拋物線的解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出算式，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可得解.

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0），

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2+x﹣4；

（2）∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m2+m﹣4，

又∵A（﹣4，0），

∴AO=0﹣（﹣4）=4，

∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣（m2+2m﹣8）=﹣m2﹣2m+8，

∵S=﹣（m2+2m﹣8）=﹣（m+1）2+9，點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

∴當(dāng)m=﹣1時(shí)，S有最大值，最大值為S=9；

故答案為：S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S=﹣m2﹣2m+8，當(dāng)m=﹣1時(shí)，S有最大值9；

（3）∵點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，﹣a），

∵點(diǎn)P在拋物線上，且PQ∥y軸，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a， a2+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（a2+a﹣4）=﹣a2﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4時(shí)，整理得，a2+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣4，4），

②﹣a2﹣2a+4=﹣4時(shí)，整理得，a2+4a﹣16=0，

解得a=﹣2±2，

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2），

綜上所述，Q坐標(biāo)為（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）時(shí)，使點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．