Question

【題目】已知關(guān)于的方程．

求證：無論取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)拋物線（為正整數(shù)）圖象與軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求此拋物線的解析式；

已知拋物線恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】證明見解析 ； 、

【解析】

（1）分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當(dāng)該方程為一元二次方程時，根的判別式△≥0，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）通過解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2，結(jié)合圖象回答問題．

（3）根據(jù)題意得到kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出關(guān)于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點(diǎn)坐標(biāo)．

證明：①當(dāng)時，方程為，所以，方程有實(shí)數(shù)根，

②當(dāng)時，∵，即，

∴無論取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根；

解：令，則，

解關(guān)于的一元二次方程，得，，

∵二次函數(shù)的圖象與軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且為正整數(shù)，

∴．

∴該拋物線解析式為；

依題意得恒成立，即恒成立，

則，

解得或．

所以該拋物線恒過定點(diǎn)、．