Question

12．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+4，將點(diǎn)（2，3）代入即可解決問(wèn)題．
（2）求出直線y=kx+t，再求出點(diǎn)A、D、C的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+4，將點(diǎn)（2，3）代入得到a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+4，
∴y=-x²+2x+3．
（2）令y=0，-x²+2x+3=0，則x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)（0，3），
∵直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=3}\\{k+t=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=3}\end{array}\right.$，
∴直線為y=x+3，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-3，0），
∴AD=2，CN=2，
∴CN=AD，CN∥AD，
∴四邊形ADCN是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是這些知識(shí)的靈活運(yùn)用，屬于中考�？碱}型．