Question

已知：如圖，∠MAN為銳角，AD平分∠MAN，點B，點C分別在射線AM和AN上，AB=AC．
（1）若點E在線段CA上，線段EC的垂直平分線交直線AD于點F，直線BE交直線AD于點G，求證：∠EBF=∠CAG；
（2）若（1）中的點E運動到線段CA的延長線上，（1）中的其它條件不變，猜想∠EBF與∠CAG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，連接EF、CF，由中垂線的性質(zhì)就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，由∠FEC+∠FEA=180°就可以得出∠ABF+∠AEF=180°，得出A、B、F、E四點共圓，近而得出∠EBF=∠CAG；
（2）如圖2，連接EF、CF，由中垂線的性質(zhì)就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，就有∠AEF=∠ABF，近而得出A、B、F、E四點共圓，就有∠EBF=∠FAC；從而得出∠EBF+∠CAG=180°．

解答：解：（1）如圖1，連接EF、CF，
∵EC的垂直平分線交直線AD，
∴EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE．
∵AD平分∠MAN，
∴∠BAF=∠CAF．
在△AFB和△AFC中

AB=AC ∠BAF=∠CAF AF=AF

∴△AFB≌△AFC（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∴∠ABF=∠FCE．
∵∠FEC+∠FEA=180°，
∴∠ABF+∠AEF=180°，
∴A、B、F、E四點共圓，
∴∠EBF=∠CAG；
（2）∠EBF+∠CAG=180°
理由：如圖2，連接EF、CF，
∵EC的垂直平分線交直線AD，
∴EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE．
∵AD平分∠MAN，
∴∠BAF=∠CAF．
在△AFB和△AFC中

AB=AC ∠BAF=∠CAF AF=AF

∴△AFB≌△AFC（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∴∠ABF=∠FCE．
∴A、B、F、E四點共圓，
∴∠EBF=∠FAC．
∵∠FAC+∠CAG=180°，
∴∠EBF+∠CAG=180°．

點評：本題考查角平分線的性質(zhì)的運用，中垂線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，四點共圓的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．