Question

【題目】如圖1，函數(shù)y=﹣x+4的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（2，m）是直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱．

（1）填空：m= ；

（2）點(diǎn)P在平面上，若以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過N、E（x1，y1）、F（x2，y2）三點(diǎn)．且x1＞x2，點(diǎn)E、F關(guān)于原點(diǎn)對稱，若點(diǎn)E到直線MN的距離是點(diǎn)F到直線MN的距離的3倍，求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）2．

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）、（8，0）或（﹣4，4）．

（3）點(diǎn)E（4，﹣1），點(diǎn)F（﹣4，1）．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；

（2）連接AN，分別以△AMN的三條邊為對角線找平行四邊形，由直線AB的解析式可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由M、N關(guān)于y軸對稱即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)A、M、N的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)點(diǎn)N的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的解析式，由點(diǎn)E、F關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得出x1=﹣x2，y1=﹣y2，再根據(jù)M、N的坐標(biāo)求出直線MN的關(guān)系式，分點(diǎn)F在直線MN的上方或下方兩種情況，結(jié)合點(diǎn)E到直線MN的距離是點(diǎn)F到直線MN的距離的3倍，即可得出y1、y2的關(guān)系，由此即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

解：（1）∵點(diǎn)M（2，m）是直線AB：y=﹣x+4上一點(diǎn)，

∴m=﹣2+4，解得：m=2．

故答案為：2．

（2）連接AN，以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形分三種情況，如圖1所示．

∵直線y=﹣x+4的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴A（4，0），B（0，4），

∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)M（2，2），

∴N（﹣2，2）．

以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形分三種情況：

①當(dāng)線段AN為對角線時，

∵A（4，0）、M（2，2）、N（﹣2，2），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4﹣2﹣2，0+2﹣2），即（0，0）；

②當(dāng)線段AM為對角線時，

∵A（4，0）、M（2，2）、N（﹣2，2），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+2﹣（﹣2），0+2﹣2），即（8，0）；

③當(dāng)線段MN為對角線時，

∵A（4，0）、M（2，2）、N（﹣2，2），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2﹣2﹣4，2+2﹣0），即（﹣4，4）．

綜上可知：若以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）、（8，0）或（﹣4，4）．

（3）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過N（﹣2，2）、E（x1，y1）、F（x2，y2）三點(diǎn)，

∴k=﹣2×2=﹣4，

∴反比例函數(shù)解析式為．

∵點(diǎn)E、F關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，

∵x1＞x2，

∴點(diǎn)E在第四象限，點(diǎn)F在第二象限．

直線MN的關(guān)系式為y=2，

點(diǎn)E到直線MN的距離是點(diǎn)F到直線MN的距離的3倍．

①當(dāng)點(diǎn)F在直線MN的上方時，

點(diǎn)E到直線MN的距離是：2﹣y1，點(diǎn)F到直線MN的距離是：y2﹣2，

∴3（y2﹣2）=2﹣y1，y1=﹣y2，

∴y1=﹣4，y2=4，

∴點(diǎn)E（1，﹣4），點(diǎn)F（﹣1，4）；

②當(dāng)點(diǎn)F在直線MN的下方時，

點(diǎn)E到直線MN的距離是：2﹣y1，點(diǎn)F到直線MN的距離是：2﹣y2，

∴3（2﹣y2）=2﹣y1，y1=﹣y2，

∴y1=﹣1，y2=1，

∴點(diǎn)E（4，﹣1），點(diǎn)F（﹣4，1）．