Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交⊙O的切線BF于點(diǎn)F，B為切點(diǎn)．求證：（1）BD平分∠CBF；（2）AB•BF=AF•CD．

Answer 1

證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵BF切⊙O于點(diǎn)B，∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
又∵∠2=∠4，
∴∠3=∠4，即BD平分∠CBF；

（2）在△DBF和△BAF中，
∵∠3=∠1，∠F=∠F，
∴△DBF∽△BAF，
∴即AB•BF=AF•BD
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，
∴AB•BF=AF•CD．
分析：（1）由于AF是∠BAC的角平分線，那么∠1=∠2，利用弦切角定理可得∠1=∠3，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠2=∠4，那么，可證∠3=∠4，即BD平分∠CBF；
（2）由于∠3=∠1，∠F=∠F，那么可證△DBF∽△BAF，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得相關(guān)比例線段AB：AF=BD：BF，又由于∠1=∠2，同圓里相等的圓周角所對(duì)的弧相等，而同圓里相等的弧所對(duì)的弦相等，從而B(niǎo)D=CD，等量代換，可得AB：AF=CD：BF，即AB•BF=AF•CD．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了角平分線性質(zhì)、弦切角定理、同弧所對(duì)的圓周角相等、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．