Question

【題目】在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)N以相同的速度從點(diǎn)B出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AB交直線CD于點(diǎn)P，連接NM、NP，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠NMP=度；
（2）求t為何值時(shí)，以A、M、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）當(dāng)△NPC為直角三角形時(shí)，求此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）解：若點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，過(guò)A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4

∴DE= AD=2，AE=2 ，

∴AM=t，PC=2﹣t

要使四邊形AMCP為平行四邊形，則AM=PC

∴t=2﹣t得t=1．

若點(diǎn)P在線段DC延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形AMCP不是平行四邊形．

（3）解：若點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，不存在Rt△NPC，

∴只有當(dāng)P在線段DC延長(zhǎng)線上時(shí)，才存在Rt△NPC，

如圖3中，當(dāng)∠NPC=90°時(shí)，則M、N、P在同一直線上，

∴∠CNP=∠MNB=30°，

∴BM= BN，即4﹣t= t，

解得，t= ．

如圖4中，當(dāng)∠PNC=90°時(shí)，

易知BG=2（4﹣t），MG= （4﹣t），

GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= （3t﹣8），

∵PM=2 ，

∴MG+GP=2 ，

∴ （4﹣t）+ （3t﹣8）=2 ，

解得t=10，不合題意，

綜上所述，t= s時(shí)，△PNC是直角三角形．

【解析】解：（1）如圖1中，連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC=CD=AD，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∵t=2時(shí)，AM=BM=2，BN=CN=2，

∵PM⊥AB，

∴PA=PB，

∴P與C重合，

∵M(jìn)N∥AC，

∴∠NMP=∠ACM= ∠ACB=30°．
（2）若點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，過(guò)A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4

∴DE= AD=2，AE=2 ，

∴AM=t，PC=2﹣t

要使四邊形AMCP為平行四邊形，則AM=PC

∴t=2﹣t得t=1．

若點(diǎn)P在線段DC延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形AMCP不是平行四邊形．
（3）若點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，不存在Rt△NPC，

∴只有當(dāng)P在線段DC延長(zhǎng)線上時(shí)，才存在Rt△NPC，

如圖3中，當(dāng)∠NPC=90°時(shí)，則M、N、P在同一直線上，

∴∠CNP=∠MNB=30°，

∴BM= BN，即4﹣t= t，

解得，t= ．

如圖4中，當(dāng)∠PNC=90°時(shí)，

易知BG=2（4﹣t），MG= （4﹣t），

GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= （3t﹣8），

∵PM=2 ，

∴MG+GP=2 ，

∴ （4﹣t）+ （3t﹣8）=2 ，

解得t=10，不合題意，

綜上所述，t= s時(shí)，△PNC是直角三角形．

所以答案是：（1）30；（2）t=1；（3）t=.

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可以解答此題．