Question

△ABC內(nèi)接于⊙O中，AD平分∠BAC交⊙O于D．

（1）如圖1，連接BD，CD，求證：BD=CD；
（2）如圖2，若BC是⊙O直徑，AB=8，AC=6，求BD長；
（3）如圖3，若∠ABC的平分線與AD交于點(diǎn)E，求證：BD=DE．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由AD平分∠BAC交⊙O于D，可得

BD

=

CD

，即可證得BD=CD；
（2）由BC是⊙O直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠BAC=∠BDC=90°，然后由勾股定理求得答案；
（3）由∠ABC的平分線與AD交于點(diǎn)E，利用三角形外角的性質(zhì)與圓周角定理可求得∠BED=∠DBE，繼而可證得BD=DE．

解答：（1）證明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD；

（2）解：∵BC是⊙O直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=8，AC=6，
∴BC=

AB2+AC2

=10，
∵BD=CD，
∴BD=5

2

；

（3）證明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∠ABC的平分線與AD交于點(diǎn)E，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BED=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠CBD，
∵∠CBD=∠2，
∴∠BED=∠DBE，
∴BD=DE．

點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．