【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD的中點,BG∥AC交DA的延長線于點G.
(1)求證:△ADF≌△CBE;
(2)若四邊形AGBC是矩形,判斷四邊形AECF是什么特殊的四邊形?并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)證明見解析;(2)菱形,證明見解析.
【解析】
(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC,AD∥BC,∠D=∠ABC,AB=CD,然后通過E、F分別是邊AB、CD的中點,得到DF=BE,由SAS證明△ADF≌△CBE即可;
(2)通過平行四邊形ABCD可得四邊形AECF為平行四邊形,然后由矩形的性質(zhì)得出∠ACB=90°,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CE=AB=AE,即可證出四邊形AECF為菱形.
(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=CB,∠D=∠ABC,AB=CD,
又∵E、F分別是邊AB、CD的中點,
∴DF=BE,
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE;
(2)四邊形AECF為菱形;
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴CD∥AB,DC=AB,
又∵E、F分別是邊AB、CD的中點,
∴CF=AE,
∴四邊形AECF為平行四邊形,
∵矩形AGBC,
∴∠ACB=90°,
又∵E為AB中點,
∴CE=AB=AE,
∴四邊形AECF為菱形.
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【題目】已知,拋物線y=ax-2amx+am2+2m-5與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)兩點,頂點為P.
(1)當a=1,m=2時,求線段AB的長度;
(2)當a=2,若點P到x軸的距離與點P到y軸的距離相等,求該拋物線的解析式;
(3)若a= ,當2m-5≤x≤2m-2時,y的最大值為2,求m的值.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在AB,CD上,且,連接EF交BD于點O連接AO.若,,則的度數(shù)為( )
A.50°B.55°C.65°D.75°
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【題目】如圖,在矩形中,已知,,點是對角線上一動點(不與,重合),連接,過點作,交于點,
(1)求證:;
(2)當點是的中點時,求的值;
(3)在點運動過程中,當時,求的值.
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【題目】某家具生產(chǎn)廠生產(chǎn)某種配套桌椅(一張桌子,兩把椅子),已知每塊板材可制作桌子張或椅子把,現(xiàn)計劃用塊這種板材生產(chǎn)一批桌椅(不考慮板材的損耗,恰好配套),設用塊板材做椅子,用塊板材做桌子,則下列方程組正確的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】某家具生產(chǎn)廠生產(chǎn)某種配套桌椅(一張桌子,兩把椅子),已知每塊板材可制作桌子張或椅子把,現(xiàn)計劃用塊這種板材生產(chǎn)一批桌椅(不考慮板材的損耗,恰好配套),設用塊板材做椅子,用塊板材做桌子,則下列方程組正確的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖1,在△ABC中,I是內(nèi)心,AB=AC,O是AB邊上一點,以點O為圓心,OB為半徑的⊙O經(jīng)過點I.
(1)求證:AI是⊙O的切線;
(2)如圖2,連接CI交AB于點E,交⊙O于點F,若tan∠IBC=,求.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,若將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,點A的對應點為點A′,點C的對應點為點C′,點D為A′B的中點,連接AD.則點A的運動路徑與線段AD、A′D圍成的陰影部分面積是______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系 中,已知點和點的坐標分別為,,將繞點按順時針分別旋轉(zhuǎn),得到,,拋物線經(jīng)過點,,;拋物線經(jīng)過點,,.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如果點是直線上方拋物線上的一個動點.
①若 ,求點的坐標;
②如圖,過點作軸的垂線交直線于點,交拋物線于點,記,求與的函數(shù)關(guān)系式.當時,求的取值范圍.
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