Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的直線分別交AB，AC的延長線于點E，F(xiàn)，AF⊥EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）小強同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn)：AF+CF=2AO，請你幫助小強同學(xué)證明這一結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠DAC，

∴∠ODA=∠DAC，

∴OD∥AF，

而AF⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）證明：連接CD、BD，作DH⊥AB于H，如圖，

∵AD平分∠BAC，DF⊥AF，DH⊥AB，

∴DF=DH，

在Rt△ADF和△ADH中

，

∴Rt△ADF≌△ADH，

∴AF=AH，

∵∠BAD=∠DAC，

∴ = ，

∴CD=BD，

在Rt△DCF和Rt△DBH中

，

∴Rt△DCF≌Rt△DBH，

∴CF=BH，

∴AF+CF=AH+BH=AB=2OA．

【解析】（1）連接OD，如圖，利用平行線的判定證明OD∥AF，加上AF⊥EF，則OD⊥EF，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷EF是⊙O的切線；（2）連接CD、BD，作DH⊥AB于H，如圖，先利用角平分線的性質(zhì)得到DF=DH，再證明Rt△ADF≌△ADH得到AF=AH，證明Rt△DCF≌Rt△DBH得到CF=BH，所以AF+CF=AH+BH=AB=2OA．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)．