Question

【題目】如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C；與雙曲線(xiàn)y= 相交于點(diǎn)A，B；直線(xiàn)AB與分別與x軸、y軸交于點(diǎn)D，E．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，4），點(diǎn)B在第四象限內(nèi)且到x軸、y軸的距離相等．

（1）求雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式；
（2）計(jì)算△ABC的面積；
（3）如圖2，將拋物線(xiàn)平移至頂點(diǎn)在原點(diǎn)上時(shí)，直線(xiàn)AB隨之平移，試判斷：在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的內(nèi)切圓的圓心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．

所以雙曲線(xiàn)的解析式為y=﹣ ．

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，﹣m）．

∵點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)上，

∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．

∵點(diǎn)B在第四象限，

∴m=2．

∴B（2，﹣2）．

將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得： ，

解得： ．

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣3x．

（2）解：如圖1，連接AC、BC．

令y=0，則x2﹣3x=0，

∴x=0或x=3，

∴C（3，0），

∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），

∴直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣2x+2，

∵點(diǎn)D是直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn)，

∴D（1，0），

∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；

（3）解：存在，理由：如圖2，

由原拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣3x=（x﹣ ）2﹣ ，

∴原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣ ），

∴拋物線(xiàn)向左平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位，

而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），

∴平移后點(diǎn)A（﹣ ， ），B（ ， ），

∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'（ ， ），

連接A'B并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)P，連接AP，

由對(duì)稱(chēng)性知，∠APE=∠BPE，

∴△APB的內(nèi)切圓的圓心在y軸上，

∵B（ ， ），A'（ ， ），

∴直線(xiàn)A'B的解析式為y=3x﹣ ，

∴P（0，﹣ ）．

【解析】（1）首先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出雙曲線(xiàn)的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后，將點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可求得直線(xiàn)AB的解析式，然后將y=0可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，最后用三角形的面積和求解即可；
（3）先確定出平移后點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)BA'的解析式即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).