Question

已知a，b，c是正實數(shù)，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于M，N兩點，交y軸于點P，其中點M坐標為（a+c，0）
（1）求證b²+c²=a²；
（2）△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，求

b

a

的值；
（3）是否存在這樣的正實數(shù)a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線y=x²-2ax+b²經(jīng)過點（a+c，0）．因而把x=a+c，y=0代入就可以得到（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，整理得到b²+c²=a²；
（2）已知拋物線的解析式，就可以求出對稱軸，可求N、P的坐標，從而△NMP的面積和△NOP的面積可求，再根據(jù)△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，可得2c=3|a-c|，即3a=5c，則

b

a

的值易求；
（3）假設存在正實數(shù)a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°，則在直角△OPN中，由tan∠OPN=

3

3

，得出

a-c

b2

=

3

3

①，同理，在直角△OPM中，由tan∠NMP=

3

3

，得出

b2

a+c

=

3

3

②，又由（1）可知b²+c²=a²③，①②③聯(lián)立，得到方程組，解此方程組即可求解．

解答：解：（1）把x=a+c，y=0代入y=x²-2ax+b²，
得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理，得b²+c²=a²；

（2）∵拋物線y=x²-2ax+b²的對稱軸是x=a，
∴拋物線y=x²-2ax+b²與x軸的交點M，N一定關(guān)于對稱軸對稱，a-c
∵點M坐標為（a+c，0），
∴N的坐標是（a-c，0）．
拋物線y=x²-2ax+b²中，令x=0，解得y=b²，
∴點P的坐標是（0，b²）．
∵△NMP的面積是

1

2

MN×OP=

1

2

×2c×b²=b²c，
△NOP的面積是

1

2

×ON×OP=

1

2

|a-c|×b²，
又∵△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，
∴b²c=3×

1

2

|a-c|×b²，
∴2c=3|a-c|，
∵b²+c²=a²，a、b、c是正實數(shù)，
∴a＞c，
∴2c=3（a-c），即3a=5c，
設a=5k，則c=3k，
根據(jù)b²+c²=a²，得到b=4k，
∴

b

a

=

4k

5k

=

4

5

；

（3）假設存在正實數(shù)a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°．
則有：

a-c b2 = 3 3 ① b2 a+c = 3 3 ② b2+c2=a2③

，
解得

a= 2 3 3 b=1 c= 3 3

．
故存在正實數(shù)a，b，c，能夠使得∠OPN=∠NMP=30°．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，三角函數(shù)等知識．運用數(shù)形結(jié)合思想與方程思想是解決本題的關(guān)鍵．