Question

【題目】如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在y軸，x軸上，OA＝OB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)圖象上，則OE﹣EC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可得直線OC的解析式為y＝x，設(shè)C（a，a），由點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，求得C（1，1），求得D的坐標(biāo)，根據(jù)互相垂直的兩條直線斜率之積為﹣1，可設(shè)直線AB的解析式為y＝﹣x+b，則B（b，0），BD＝b﹣1．由點(diǎn)D和點(diǎn)F關(guān)于直線AB對(duì)稱，得出BF＝DB＝b﹣1，那么B（b，b﹣1），再將F點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝，得到b（b﹣1）＝1，解方程即可求得B的坐標(biāo)，然后通過三角形相似求得OE，根據(jù)OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC即可求得結(jié)果．

解：∵點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在y軸，x軸上，OA＝OB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

∴直線OC的解析式為y＝x，

設(shè)C（a，a），

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴a2＝1，

∴a＝1，

∴C（1，1），

∴D（1，0），

∴設(shè)直線AB的解析式為y＝﹣x+b，則B（b，0），BD＝b﹣1．

∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線AB對(duì)稱，

∴BF＝BD＝b﹣1，

∴F（b，b﹣1），

∵F在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴b（b﹣1）＝1，

解得b1＝，b2＝（舍去），

∴B（，0），

∵C（1，1），

∴OD＝CD＝1，

∴OC＝，

易證△ODC∽△OEB，

∴，即，

∴OE＝，

∴OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC＝﹣＝．

故答案為．