【題目】已知:△ABC內接于⊙O,連接CO并延長交AB于點E,交⊙O于點D,滿足∠BEC3ACD

1)如圖1,求證:ABAC;

2)如圖2,連接BD,點F為弧BD上一點,連接CF,弧CF=弧BD,過點AAGCD,垂足為點G,求證:CF+DGCG;

3)如圖3,在(2)的條件下,點HAC上一點,分別連接DH,OH,OHDH,過點CCPAC,交⊙O于點P,OHCP1 ,CF12,連接PF,求PF的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)連接AD.設∠BEC,∠ACDα,利用等量代換得出∠ABC=∠ACB,最后進一步證明結論即可;

2)連接AD,在CD上取一點Z,使得CZBD,通過證明△ADB≌△AZC得出ADAZ,然后進一步證明即可;

3)連接ADPA,作OKACKORPCR,CTFPFP的延長線于T,利用三角函數(shù)以及勾股定理進一步求解即可.

1)證明:如圖1中,連接AD.設∠BEC,∠ACDα

∵∠BEC=∠BAC+ACD,

∴∠BAC,

CD是直徑,

∴∠DAC90°

∴∠D90°α,

∴∠B=∠D90°α,

∵∠ACB180°﹣∠BAC﹣∠ABC180°﹣(90°α)=90°α

∴∠ABC=∠ACB,

ABAC;

2)證明:如圖2中,連接AD,在CD上取一點Z,使得CZBD

∵弧BD=弧CF,

DBCF,

∵∠DBA=∠DCA,CZBD,ABAC,

∴△ADB≌△AZCSAS),

ADAZ,

AGDZ,

DGGZ

CGCZ+GZBD+DGCF+DG

3)連接AD,PA,作OKACK,ORPCR,CTFPFP的延長線于T

CPAC

∴∠ACP90°,

PA是直徑,

ORPC,OKAC,

PRRC,∠ORC=∠OKC=∠ACP90°,

∴四邊形OKCR是矩形,

RCOK,

OHPC1

∴設OHa,PC2a,

PRRCa,

RCOKa,sinOHK,

∴∠OHK45°,

OHDH,

∴∠DHO90°,

∴∠DHA180°90°45°45°

CD是直徑,

∴∠DAC90°,

∴∠ADH90°45°45°,

∴∠DHA=∠ADH,

ADAH,

∵∠COP=∠AOD

ADPC,

AHADPC2a

AKAH+HK2a+a3a,

RtAOK中,tanOAKOA=,

sinOAK

∵∠ADG+DAG90°,∠ACD+ADG90°,

∴∠DAG=∠ACD

AOCO,

∴∠OAK=∠ACO

∴∠DAG=∠ACO=∠OAK,

tanACDtanDAGtanOAK,

AG3DG,CG3AG,

CG9DG

由(2)可知,CGDG+CF

DG+129DG,

DG,AG3DG,

AD

PCAD,

sinFsinOAK

sinF,

CT×12FT,PT,

PFFTPT

練習冊系列答案
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1)求第一班車離入口處的路程y(米)與時間x(分)函數(shù)表達式.并寫出x的取值范圍;

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