Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E．在△ABC外取一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接ME．試判斷ME與BC是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）ME⊥BC．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)∠BAC=90°，AF⊥AE可得∠1=∠2，然后根據(jù)FC⊥BC，得出∠B=∠FCA=45°，根據(jù)條件利用ASA證明△ABE≌△ACF，繼而可得BE=CF；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解：（1）∵∠BAC=90°，AF⊥AE，

∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°

∴∠1=∠2，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵FC⊥BC，

∴∠FCA=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°，

∴∠B=∠FCA，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF；

（2）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=BH，∠BEH=45°，

∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，

∴DE=HE，

∴DE=BH=HE，

∵BM=2DE，

∴HE=HM，

∴△HEM是等腰直角三角形，

∴∠MEH=45°，

∴∠BEM=45°+45°=90°，

∴ME⊥BC．