Question

11．如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，F(xiàn)為AB的中點，連接CE，CF，過點F作FG⊥CE于點G，連接AG，BG，過點G作MN∥AB，交AD于點M，交BC于點N．若AD=4AE，AE=EG，則下列結論中不正確的是（　�。�

• A． ∠AGB=90°
• B． △BCF≌△GCF
• C． tan∠GCN=$\frac{4}{3}$
• D． 15S_△ABG=S_△BCG

Answer 1

分析 A、連接EF，設AE=x，證明△AEF∽△BFC，得$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，再證明△EFG∽△FCG，得FG=AF=BF，則△AGB是直角三角形，∠AGB=90°，結論正確；
B、根據(jù)HL證明△BCF≌△GCF，結論正確；
C、由EM∥CN，得$\frac{EG}{CG}=\frac{MG}{GN}=\frac{EM}{CN}$=$\frac{x}{4x}$=$\frac{1}{4}$，證明GN=$\frac{16x}{5}$，CN=$\frac{12x}{5}$，則tan∠GCN=$\frac{GN}{CN}$=$\frac{4}{3}$，結論正確；
D、分別計算S_△ABG和S_△BCG，得2S_△ABG=S_△BCG，則結論不正確．

解答 解：A、連接EF，
設AE=x，則AD=BC=x，AF=BF=2x，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BF}{BC}=\frac{2x}{4x}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{BF}{BC}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴△AEF∽△BFC，
∴$\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，∠EFA=∠FCB，
∵∠FCB+∠CFB=90°，
∴∠EFA+∠CFB=90°，
∴∠EFC=90°，
∵FG⊥EC，
∴△EFG∽△FCG，
∴$\frac{EG}{FG}=\frac{FG}{CG}=\frac{EF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∵EG=AE=x，
∴FG=2x，CG=4x，
∴FG=AF=BF，
∴∠GAF=∠FGA，∠FGB=∠FBG，
∴∠GAF+∠FBG=∠FGA+∠FGB=90°，
∴∠AGB=90°，
所以選項A正確；
B、∵BC=CG=4x，∠FGC=∠FBC=90°，F(xiàn)C=FC，
∴△BCF≌△GCF，
所以B選項正確；
C、∵EM∥CN，
∴$\frac{EG}{CG}=\frac{MG}{GN}=\frac{EM}{CN}$=$\frac{x}{4x}$=$\frac{1}{4}$，
∵MN=AB=4x，
∴GN=4x•$\frac{4}{5}$=$\frac{16x}{5}$，
∵AE=x，AD=4x，
∴ED=3x，
∴CN=3x•$\frac{4}{5}$=$\frac{12x}{5}$，
在Rt△GNC中，tan∠GCN=$\frac{GN}{CN}$=$\frac{\frac{16x}{5}}{\frac{12x}{5}}$=$\frac{4}{3}$，
所以選項C正確；
D、S_△BCG=$\frac{1}{2}$BC•GN=$\frac{1}{2}$•4x•$\frac{16x}{5}$=$\frac{32}{5}{x}^{2}$，
S_△ABG=$\frac{1}{2}$AB•AM=$\frac{1}{2}$•4x•（4x-$\frac{12x}{5}$）=$\frac{16}{5}{x}^{2}$，
∴2S_△ABG=S_△BCG，
所以D選項不正確；
本題選擇結論不正確的，故選D．

點評 本題是正方形、全等三角形和解直角三角形的綜合題，考查了正方形的性質及全等三角形的性質和判定，根據(jù)倍數(shù)關系設較小的邊AE=x，利用三角形相似表示出其它各邊的長，從而求角的三角函數(shù)值及三角形的面積比，同時也能得出其它邊和角的關系．