Question

如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交邊AB于F，連FC，下列結(jié)論不正確的是（　　）

• A、AB≥AE
• B、△AEF∽△DCE
• C、△AEF∽△ECF
• D、△AEF與△BFC不可能相似

Answer 1

考點：相似三角形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：利用等角的余角相等得到∠AFE=∠DEC，則根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到Rt△AEF∽Rt△DCE，由相似的性質(zhì)得CD：AE=DE：AF，而CD=AB，DE=AE，則AB：AE=AE：AF，即AE²=AB•AF，利用AF≤AB，得到AB≥AE；再利用Rt△AEF∽Rt△DCE得到EF：EC=AF：DE，把DE=AE代入得到EF：EC=AF：AE，根據(jù)比例性質(zhì)得EF：AF=EC：AE，加上∠A=∠FEC=90°，則根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到△AEF∽△ECF；由∠EFC≠90°可判斷△AEF∽△BFC相似不成立，而當(dāng)∠AFE=∠BFC時，可判斷△AEF∽△BCF．

解答：解：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴Rt△AEF∽Rt△DCE；
∴CD：AE=DE：AF，
∵E為矩形ABCD的邊AD的中點，
∴CD=AB，DE=AE，
∴AB：AE=AE：AF，即AE²=AB•AF，
而AF≤AB，
∴AB≥AE；
∵Rt△AEF∽Rt△DCE，
∴EF：EC=AF：DE，
而DE=AE，
∴EF：EC=AF：AE，即EF：AF=EC：AE，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AEF∽△ECF；
∵∠EFC≠90°，
∴△AEF∽△BFC相似不成立，
但當(dāng)∠AFE=∠BFC時，△AEF∽△BCF．
故選D．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．