Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，兩條對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線(xiàn)AB上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別作直線(xiàn)AC、BD的垂線(xiàn)PE、PF，垂足為E、F．
（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上時(shí)，求PE+PF的值．
（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求PE-PF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锳BCD是正方形，所以對(duì)角線(xiàn)互相垂直，又因?yàn)檫^(guò)P點(diǎn)分別作直線(xiàn)AC、BD的垂線(xiàn)PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以對(duì)角線(xiàn)互相垂直，又因?yàn)檫^(guò)P點(diǎn)分別作直線(xiàn)AC、BD的垂線(xiàn)PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．
解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠BPF=45°，
∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PF⊥BF，
∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠OBA=45°，
∴PF=BF．
又∵BC=a，
∴PE-PF=OF-BF=OB=BCcos45°=acos45°=a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形的性質(zhì)，正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分每一組對(duì)角，四邊相等，四個(gè)角都是直角，以及矩形的判定和性質(zhì)解直角三角形等．