Question

3．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=CD=10，M在邊CD上，$\frac{DM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，問：
（1）DM=4，MC=6．
（2）如圖①，連結(jié)BM，求證BM⊥DC；
（3）如圖②，作∠EMF=90°，ME交射線AB于點E，MF交射線BC于點F，當(dāng)點F在線段BC上時，連接EF，問：當(dāng)F點運動到什么位置時，△EBF的面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)M在邊CD上，$\frac{DM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，得出DM=$\frac{2}{5}$CD，MC=$\frac{3}{5}$CD，再將CD=10代入計算即可求出DM，CM的長度；
（2）如圖1，連結(jié)BD．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得出∠ADB=∠CBD=∠CDB．再利用SAS證明△ADB≌△MDB，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得出
∠A=∠BMD=90°，即BM⊥DC；
（3）如圖2，根據(jù)同角的余角相等得出∠1=∠2，∠ABM=∠C，那么△CMF∽△BME，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CM}{BM}$．設(shè)BF=x，列出關(guān)于x的方程，得出BE=$\frac{4}{3}$（10-x），根據(jù)S_△EBF=$\frac{1}{2}$BF•BE，得出S關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答 （1）解：∵CD=10，M在邊CD上，$\frac{DM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，
∴DM=$\frac{2}{5}$CD=$\frac{2}{5}$×10=4，MC=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{3}{5}$×10=6．
故答案為4，6；

（2）證明：如圖1，連結(jié)BD．
∵BC=CD=10，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB．
在△ADB與△MDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=MD=4}\\{∠ADB=∠MDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△MDB（SAS），
∴∠A=∠BMD=90°，
∴BM⊥DC；

（3）解：如圖2，由（2）得∠BMC=90°，
∴∠1+∠BMF=90°，∠C+∠3=90°．
∵∠EMF=90°，
∴∠2+∠BMF=90°，
∴∠1=∠2．
又∵∠ABC=∠A=90°，
∴∠3+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠C．
在△CMF與△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠EBM}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△CMF∽△BME，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CM}{BM}$．
在Rt△BCM中，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=8．
設(shè)BF=x，則CF=10-x，
∴$\frac{10-x}{BE}$=$\frac{6}{8}$，
∴BE=$\frac{4}{3}$（10-x），
∴S_△EBF=$\frac{1}{2}$BF•BE
=$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{3}$（10-x）
=$\frac{2}{3}$（-x²+10x）
=-$\frac{2}{3}$（x-5）²+$\frac{50}{3}$，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴當(dāng)x=5時，S_△EBF最大，最大值為$\frac{50}{3}$．
故當(dāng)BF=5時，△EBF的面積最大，最大值為$\frac{50}{3}$．

點評 本題是四邊形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合以及方程思想是解題的關(guān)鍵．