Question

3．如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，3），B（1，2），△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A₁OB₁．
（1）畫出△A₁OB₁，直接寫出點B₁關于點O的對稱點B₂的坐標；
（2）請直接寫出：以A、B、O、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點C的坐標；
（3）請直接寫出：在旋轉過程中，點B經過的路徑的長；
（4）求在旋轉過程中，線段AB所掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）利用網格特點和旋轉的性質畫出點A、B的對應點A₁、B₁，即可得到△A₁OB₁，再利用根據(jù)關于y軸對稱的點的坐標特征寫出點B₁關于點O的對稱點B₂的坐標；
（2）分類討論：分別OA、AB、OB為平行四邊形的對角線畫出平行四邊形，然后寫出C點坐標；
（3）利用弧長公式計算；
（4）根據(jù)扇形面積公式，利用線段AB所掃過的面積=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB進行計算即可．

解答 解：（1）如圖，△A₁OB₁為所作，點B₁關于點O的對稱點B₂的坐標為（2，-1）；

（2）如圖，以A、B、O、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點C的坐標為（2，1）或（4，5）或（-2，-1）；
（3）在旋轉過程中，點B經過的路徑的長=$\frac{90•π•\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π；
（4）在旋轉過程中，線段AB所掃過的面積=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB=$\frac{90•π•（3\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{13}{4}$π．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．利用分類討論的思想解決（3）小題，利用面積的和差解決（4）小題．