Question

14．如圖，在△ABC中，∠A=45°，以AB為直徑的⊙O交于AC的中點(diǎn)D，連接CO，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)G．
（1）求證：BC時(shí)⊙O的切線；
（2）若AB=2，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由圓周角性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)以及已知條件證明∠ABC=90°即可；
（2）根據(jù)AB=2，則圓的直徑為2，所以半徑為1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)，再通過證明△EGO∽△CBO得到關(guān)于EG的比例式可求出EG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD，
∴AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵AB=2，
∴BO=1，
∵AB=BC=2，
∴CO=$\sqrt{B{O}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵EF⊥AB，BC⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△EGO∽△CBO，
∴$\frac{EG}{BC}=\frac{EO}{CO}$，
∴$\frac{EG}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=2EG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定于性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．